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Exercices types : applications à l'économie - Exercice 1

40 min
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Question 1
Une entreprise vend des voitures télécommandées. La vente mensuelle varie entre 10001000 et 50005000 voitures. Une étude montre que la recette mensuelle totale de l’entreprise est de 7070 000000 euros lorsqu’elle vend 10001000 voitures. On note r(x)r\left(x\right) la recette mensuelle réalisée par l’entreprise, exprimée en dizaine de milliers d’euros, pour la vente de xx milliers de voitures.

Donner r(1)r\left(1\right) .

Correction
r(1)r\left(1\right) est la recette correspondant à la vente de 10001000 voitures, donc 7070 000000 euros. Donc
r(1)=7r\left(1\right)=7
.
Question 2
On admet que, pour tout x∈[1;5]x \in \left[1 ; 5\right], la recette mensuelle est modélisée par: r(x)=6+x+2ln⁡(x)r\left(x\right)=6+x+2\ln \left(x\right) .

Montrer que, pour tout x∈[1;5]x \in \left[1 ; 5\right], on a : r′(x)=x+22r'\left(x\right)=\frac{x+2}{2} .

Correction
rr est dérivable sur [1;5]\left[1 ; 5\right].
Ainsi :
r′(x)=0+1+2×1xr'\left(x\right)=0+1+2\times \frac{1}{x}
r′(x)=1+2xr'\left(x\right)=1+ \frac{2}{x} . Il faut maintenant tout mettre au même dénominateur.
r′(x)=1×xx+2xr'\left(x\right)=\frac{1\times x}{x}+ \frac{2}{x}
r′(x)=xx+2x=x+22r'\left(x\right)=\frac{x}{x}+ \frac{2}{x}=\frac{x+2}{2}
r′(x)=x+22r'\left(x\right)=\frac{x+2}{2}

Question 3

Étudier les variations de rr sur l’intervalle [1;5]\left[1 ; 5\right].

Correction
Nous savons que : r′(x)=x+22r'\left(x\right)=\frac{x+2}{2}
Sur l'intervalle [1;5]\left[1 ; 5\right] , on vérifie facilement que x>0x>0 et x+2>0x+2>0 . Il en résulte donc que : r′(x)>0r'\left(x\right)>0. De ce fait, la fonction rr est strictement croissante.
Avec :
  • r(1)=7r\left(1\right)=7
  • r(5)=6+5+2ln⁡(5)=11+2ln⁡(5)r\left(5\right)=6+5+2\ln \left(5\right)=11+2\ln \left(5\right)
    • Question 4

    Justifier que l’équation r(x)=10r\left(x\right)=10 admet une unique solution α\alpha dans l’intervalle [1;5]\left[1 ; 5\right], puis donner une valeur approchée de α\alpha au millième.

    Correction
    Nous faisons apparaitre la valeur 1010 dans le tableau de variation.
    Sur [1;5]\left[1;5\right], la fonction rr est continue et strictement croissante.
    De plus, r(1)=7r\left(1\right)=7 et r(5)=11+2ln⁡(5)≈14,2r\left(5\right)=11+2\ln \left(5\right)\approx14,2 .
    Or 10∈[7;11+2ln⁡(5)]10\in \left[7;11+2\ln \left(5\right)\right], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution α\alpha appartenant à l'intervalle [1;5]\left[1;5\right] tel que r(x)=10r\left(x\right)=10.
    A la calculatrice, on vérifie que :
    α≈2,318\alpha \approx 2,318
    .
    Question 5

    Déterminer le nombre minimal de voitures télécommandées vendues à partir duquel l’entreprise réalise une recette supérieure à 100000100000 euros.

    Correction
    Pour x=αx = \alpha donc pour une vente de 23182318 voitures, la recette est de 100100 000000 euros.
    On sait que la fonction rr est strictement croissante, donc pour avoir une recette d’au moins 100100 000000 euros, il faut vendre plus de 23182318 voitures soit au moins 23192319.
    Question 6
    Soit gg la fonction définie pour tout x∈[1;5]x \in \left[1 ; 5\right] par g(x)=2ln⁡(x)g\left(x\right)=2\ln \left(x\right).

    Montrer que la fonction GG définie pour tout x∈[1;5]x \in \left[1 ; 5\right] par G(x)=2x(ln⁡(x)−1)G\left(x\right)=2x\left(\ln \left(x\right)-1\right) est une primitive de la fonction gg.

    Correction
    Dans le cas où une primitive FF est donnée, il vous suffit de dériver FF et d'obtenir comme résultat ff.
    Autrement dit, il faut que F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)
    Soit : G(x)=2x(ln⁡(x)−1)G\left(x\right)=2x\left(\ln \left(x\right)-1\right)
    On reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=2xu\left(x\right)=2x et v(x)=ln⁡(x)−1v\left(x\right)=\ln \left(x\right)-1.
    Ainsi : u′(x)=2u'\left(x\right)=2 et v′(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} .
    Il vient alors que :
    G′(x)=2(ln⁡(x)−1)+2x×1xG'\left(x\right)=2\left(\ln \left(x\right)-1\right)+2x\times \frac{1}{x}
    G′(x)=2(ln⁡(x)−1)+2xxG'\left(x\right)=2\left(\ln \left(x\right)-1\right)+\frac{2x}{x}
    G′(x)=2(ln⁡(x)−1)+2G'\left(x\right)=2\left(\ln \left(x\right)-1\right)+2
    G′(x)=2ln⁡(x)−2+2G'\left(x\right)=2\ln \left(x\right)-2+2
    G′(x)=2ln⁡(x)G'\left(x\right)=2\ln \left(x\right)
    G′(x)=g(x)G'\left(x\right)=g\left(x\right)

    Question 7

    En déduire une primitive RR de la fonction rr sur l’intervalle [1;5]\left[1 ; 5\right].

    Correction
    Nous savons que : r(x)=6+x+2ln⁡(x)r\left(x\right)=6+x+2\ln \left(x\right) que l'on peut écrire : r(x)=6+x+g(x)r\left(x\right)=6+x+g\left(x\right) .
    Une primitive de rr est alors :
    R(x)=6x+12x2+G(x)R\left(x\right)=6x+\frac{1}{2}x^{2}+G\left(x\right)
    R(x)=6x+12x2+2x(ln⁡(x)−1)R\left(x\right)=6x+\frac{1}{2}x^{2}+2x\left(\ln \left(x\right)-1\right)
    R(x)=6x+12x2+2xln⁡(x)−2xR\left(x\right)=6x+\frac{1}{2}x^{2}+2x\ln \left(x\right)-2x
    R(x)=4x+12x2+2xln⁡(x)R\left(x\right)=4x+\frac{1}{2}x^{2}+2x\ln \left(x\right)
    Question 8

    Donner une valeur approchée à la dizaine d’euros de la valeur moyenne de la recette totale lorsque l’entreprise vend entre 20002000 et 40004000 voitures télécommandées.

    Correction
    ff une fonction continue sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right].
    La valeur moyenne de la fonction ff sur [a;b]\left[a;b\right] est le réel mm défini par m=1b−a∫abf(x)dxm=\frac{1}{b-a} \int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
    La valeur moyenne de la recette totale lorsque l’entreprise vend entre 20002000 et 40004000 voitures télécommandées est dix mille fois la valeur moyenne de la fonction rr entre 22 et 44. Il vient alors que :
    14−2∫24r(x)dx=12[R(4)−R(2)]\frac{1}{4-2} \int _{2}^{4}r\left(x\right)dx =\frac{1}{2} \left[R\left(4\right)-R\left(2\right)\right]
    14−2∫24r(x)dx=12[16+162+8ln⁡(4)−(8+42+4ln⁡(2))]\frac{1}{4-2} \int _{2}^{4}r\left(x\right)dx =\frac{1}{2} \left[16+\frac{16}{2} +8\ln \left(4\right)-\left(8+\frac{4}{2} +4\ln \left(2\right)\right)\right]
    14−2∫24r(x)dx=12[16+8+8ln⁡(4)−8−2−4ln⁡(2)]\frac{1}{4-2} \int _{2}^{4}r\left(x\right)dx =\frac{1}{2} \left[16+8+8\ln \left(4\right)-8-2-4\ln \left(2\right)\right]
    14−2∫24r(x)dx=12[14+8ln⁡(22)−4ln⁡(2)]\frac{1}{4-2} \int _{2}^{4}r\left(x\right)dx =\frac{1}{2} \left[14+8\ln \left(2^{2} \right)-4\ln \left(2\right)\right]
    14−2∫24r(x)dx=12[14+8×2ln⁡(2)−4ln⁡(2)]\frac{1}{4-2} \int _{2}^{4}r\left(x\right)dx =\frac{1}{2} \left[14+8\times 2\ln \left(2\right)-4\ln \left(2\right)\right]
    14−2∫24r(x)dx=12[14+16ln⁡(2)−4ln⁡(2)]\frac{1}{4-2} \int _{2}^{4}r\left(x\right)dx =\frac{1}{2} \left[14+16\ln \left(2\right)-4\ln \left(2\right)\right]
    14−2∫24r(x)dx=12[14+12ln⁡(2)]\frac{1}{4-2} \int _{2}^{4}r\left(x\right)dx =\frac{1}{2} \left[14+12\ln \left(2\right)\right]
    14−2∫24r(x)dx=7+6ln⁡(2)\frac{1}{4-2} \int _{2}^{4}r\left(x\right)dx =7+6\ln \left(2\right)
    14−2∫24r(x)dx≈11,159\frac{1}{4-2} \int _{2}^{4}r\left(x\right)dx \approx 11,159

    La valeur moyenne de la recette totale lorsque l’entreprise vend entre 20002000 et 40004000 voitures télécommandées est donc d’environ 111590 euros.

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