Exercices types : $$4$$^ème partie - Exercice 1

On reconnait la forme : $$\left(uv\right)^{'} =u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=2-\ln \left(x\right)$$ et $$v\left(x\right)=3+4\ln \left(x\right)$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-\frac{1}{x}$$ et $$v'\left(x\right)=\frac{4}{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=-\frac{1}{x} \times \left(3+4\ln \left(x\right)\right)+\left(2-\ln \left(x\right)\right)\times \frac{4}{x}$$
$$f'\left(x\right)=-\frac{1}{x} \times 3-\frac{1}{x} \times \left(4\ln \left(x\right)\right)+2\times \frac{4}{x} -\ln \left(x\right)\times \frac{4}{x}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-3}{x} -\frac{4\ln \left(x\right)}{x} +\frac{8}{x} -\frac{4\ln \left(x\right)}{x}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-3-4\ln \left(x\right)+8-4\ln \left(x\right)}{x}$$

Pour tout réel $$x\in\left[1 ;20\right]$$, on vérifie aisément que $$x>0$$. Donc le signe de $$f'$$ dépend de $$5-8\ln \left(x\right)$$.
Ainsi :
$$5-8\ln \left(x\right)\ge0$$ équivaut successivement à :
$$-8\ln \left(x\right)\ge-5$$
$$\ln \left(x\right)\le \frac{5}{8}$$
$$x\le e^{\frac{5}{8} }$$.
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$f'$$ dès que $$x\le e^{\frac{5}{8} }$$ .
Nous allons maintenant dresser le tableau de variation de $$f$$.

Nous savons que $$f'\left(x\right)=\frac{5-8\ln \left(x\right)}{x}$$
On reconnait la forme : $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=5-8\ln \left(x\right)$$ et $$v\left(x\right)=x$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-\frac{8}{x}$$ et $$v'\left(x\right)=1$$.
Il vient alors que :
$$f''\left(x\right)=\frac{-\frac{8}{x} \times x-\left(5-8\ln \left(x\right)\right)\times 1}{x^{2} }$$
$$f''\left(x\right)=\frac{-8-5+8\ln \left(x\right)}{x^{2} }$$
Ainsi :

Pour étudier la convexité de la fonction $$f$$, il faut étudier le signe de $$f''$$.
Nous savons que $$f''\left(x\right)=\frac{-13+8\ln \left(x\right)}{x^{2} }$$
Pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left[1 ;20\right]$$ comme $$x^{2}>0$$ alors $$f''$$ est du signe de $$-13+8\ln \left(x\right)$$ .
Pour étudier son signe on résout l'inéquation $$-13+8\ln \left(x\right)\ge 0$$, il vient alors :
$$-13+8\ln \left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à :
$$8\ln \left(x\right)\ge 13$$
$$\ln \left(x\right)\ge \frac{13}{8}$$
$$x\ge e^{\frac{13}{8} }$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$f''$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$e^{\frac{13}{8} }$$.
Il en résulte :