Exercices types : $$3$$^ème partie - Exercice 3

On remarque , d'après le graphique , que la fonction $$f$$ est d'abord négative, puis positive et enfin négative.
Ainsi la représentation graphique de sa primitive $$F$$ devrait être donc commencer par être décroissante, croissante et enfin décroissante.
Or la représentation graphique de la courbe $$\Gamma$$ est uniquement décroissante. Elle ne peut donc pas correspondre à la représentation graphique de $$F$$.
Finalement, La courbe $$\Omega$$ est la représentation graphique de $$F$$.

Le point $$A\left(1;1\right)$$ appartient à $$C_{f}$$, il vient alors que .
La courbe $$C_{f}$$ admet une tangente horizontale en son point d’abscisse $$2$$. Or le coefficient directeur d'une tangente horizontale est nulle. Par définition, $$f'\left(2\right)$$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $$2$$.
Ainsi

$$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
On obtient alors :

D'après les questions précédentes, nous savons que : $$f\left(1\right)=1$$ et $$f'\left(2\right)=0$$.

D'une part :

$$f'\left(2\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$\frac{6}{2} +a=0$$

D'autre part :

$$f\left(1\right)=1$$ équivaut successivement à :
$$6\ln \left(1\right)+a\times 1+b=1$$
$$a+b=1$$
$$-3+b=1$$

Finalement : $$f\left(x\right)=6\ln \left(x\right)-3x+4$$.

$$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
On obtient alors :
$$f'\left(x\right)=\frac{6}{x}-3$$. Nous allons mettre l'expression au même dénominateur.
$$f'\left(x\right)=\frac{6}{x} -\frac{3x}{x}$$

Pour tout réel $$x\in\left]0;+\infty \right[$$, on vérifie que $$x>0$$.
Le signe de $$f'$$ dépend alors uniquement de son numérateur $$6-3x$$.
$$6-3x\ge 0\Leftrightarrow -3x\ge -6\Leftrightarrow x\le \frac{-6}{-3} \Leftrightarrow x\le 2$$
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]0;2\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[2;+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :

La fonction $$f$$ admet un extremum, qui correspond à un maximum, lorsque $$x=2$$.
Ainsi :
$$f\left(2\right)=6\ln \left(2\right)-3\times2+4$$

Nous donnons ci-dessous le tableau de variation complet de $$f$$.

Soit : $$H\left(x\right)=6x\ln \left(x\right)-\frac{3}{2}x^{2}-2x$$.
On reconnaît la forme : $$\left(uv+w\right)'=u'v+uv'+w'$$ avec $$u\left(x\right)=6x$$ ; $$v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$ et $$w\left(x\right)=-\frac{3}{2}x^{2}-2x$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=6$$ ; $$v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$ et $$w'\left(x\right)=-3x-2$$.
Il vient alors que :
$$H'\left(x\right)=6\ln \left(x\right)+6x\times \frac{1}{x} -3x-2$$
$$H'\left(x\right)=6\ln \left(x\right)+6-3x-2$$
$$H'\left(x\right)=6\ln \left(x\right)-3x+4$$
Ainsi :
On a bien montré que $$H$$ est une primitive de $$f$$ sur $$\left]0;+\infty \right[$$.

$$I=\int _{1}^{e}f\left(x\right)dx$$ équivaut successivement à :
$$I=\left[6x\ln \left(x\right)-\frac{3}{2} x^{2} -2x\right]_{1}^{e}$$
$$I=6\times e\times \ln \left(e\right)-\frac{3}{2} \times e^{2} -2\times e-\left(6\times 1\times \ln \left(1\right)-\frac{3}{2} \times 1^{2} -2\times 1\right)$$
$$I=6e-\frac{3}{2} e^{2} -2e-\left(-\frac{3}{2} -2\right)$$
$$I=6e-\frac{3}{2} e^{2} -2e-\left(-\frac{7}{2} \right)$$
$$I=6e-\frac{3}{2} e^{2} -2e+\frac{7}{2}$$