Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 4

$$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
On reconnaît la forme : $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=1+2\ln \left(x\right)$$ et $$v\left(x\right)=x$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=\frac{2}{x}$$ et $$v'\left(x\right)=1$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{\frac{2}{x} \times x-\left(1+2\ln \left(x\right)\right)\times 1 }{x^{2} }$$ équivaut successivement à :
$$f'\left(x\right)=\frac{2-1-2\ln \left(x\right) }{x^{2} }$$

$$f'\left(\frac{1}{e} \right)=\frac{1-2\ln \left(\frac{1}{e} \right)}{\frac{1}{e} }$$
$$f'\left(\frac{1}{e} \right)=\frac{1-\left(-2\ln \left(e\right)\right)}{\frac{1}{e} }$$
$$f'\left(\frac{1}{e} \right)=\frac{1+2\ln \left(e\right)}{\frac{1}{e} }$$
$$f'\left(\frac{1}{e} \right)=\frac{1+2}{\frac{1}{e} }$$
$$f'\left(\frac{1}{e} \right)=\frac{3}{\left(\frac{1}{e} \right)}$$
$$f'\left(\frac{1}{e} \right)=3\times \frac{e}{1}$$
Ainsi :

Il nous faut maintenant étudier le signe de $$f'$$.
Or, nous savons que : $$f'\left(x\right)=\frac{1-2\ln \left(x\right)}{x^{2} }$$
Pour tout $$x\in\left]0;+\infty \right[$$, on vérifie aisément que $$x^{2}>0$$. Le signe de $$f'$$ dépend alors de $$1-2\ln \left(x\right)$$.
$$1-2\ln \left(x\right)\ge 0\Leftrightarrow -2\ln \left(x\right)\ge -1\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\le \frac{1}{2} \Leftrightarrow x\le e^{\frac{1}{2} }$$
Le tableau de variation de $$f$$ est donnée ci-dessous :

$$f'$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
On reconnaît la forme : $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=1-2\ln \left(x\right)$$ et $$v\left(x\right)=x^{2}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=-\frac{2}{x}$$ et $$v'\left(x\right)=2x$$.
Il vient alors que :
$$f''\left(x\right)=\frac{-\frac{2}{x} \times x^{2} -\left(1-2\ln \left(x\right)\right)\times 2x}{\left(x^{2} \right)^{2} }$$
$$f''\left(x\right)=\frac{-2x-\left(2x-4x\ln \left(x\right)\right)}{x^{4} }$$
$$f''\left(x\right)=\frac{-2x-2x+4x\ln \left(x\right)}{x^{4} }$$
$$f''\left(x\right)=\frac{-4x+4x\ln \left(x\right)}{x^{4} }$$
$$f''\left(x\right)=\frac{x\times \left(-4+4\ln \left(x\right)\right)}{x\times x^{3} }$$
Ainsi :

Nous savons que $$f''\left(x\right)=\frac{-4+4\ln \left(x\right)}{x^{3} }$$, il nous faut donc résoudre $$f''\left(x\right)=0$$.
Pour tout réel $$x$$ strictement positif, on a alors :
$$\frac{-4+4\ln \left(x\right)}{x^{3} }=0$$ équivaut successivement à :
$$-4+4\ln \left(x\right)=0$$
$$4\ln \left(x\right)=4$$
$$\ln \left(x\right)=1$$
$$\ln \left(x\right)=\ln \left(e\right)$$
$$x=e$$. Nous avons maintenant l'abscisse du point d'inflexion. Pour calculer son ordonnée, il nous reste à calculer $$f\left(e\right)$$.
$$f\left(e\right)=\frac{1+2\ln \left(e\right)}{e}$$
$$f\left(e\right)=\frac{1+2}{e}$$
$$f\left(e\right)=\frac{3}{e}$$
Finalement, les coordonnées du point d'inflexion sont alors $$\left(e;\frac{3}{e} \right)$$.

Pour étudier la convexité de la fonction $$f$$, il faut étudier le signe de $$f''$$.
Pour tout $$x\in\left]0;+\infty \right[$$, on vérifie aisément que $$x^{3}>0$$.
Le signe de $$f'$$ dépend alors de $$-4+4\ln \left(x\right)$$.
$$-4+4\ln \left(x\right)\ge 0\Leftrightarrow 4\ln \left(x\right)\ge 4\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\ge 1 \Leftrightarrow x\ge e$$
Il vient alors que :