La fonction logarithme

Exercices types : 22ème partie - Exercice 2

30 min
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Soit la fonction ff définie sur ]0;5]\left]0;5\right] par : f(x)=x22+x−xln⁡(x)+32f\left(x\right)=\frac{x^{2}}{2}+x-x\ln \left(x\right)+\frac{3}{2}. On note CfC_{f} la courbe représentative de la fonction ff.
On note f′f' la fonction dérivée de la fonction ff sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
Question 1
Partie A

Justifier que f′(x)=x−ln⁡(x)f'\left(x\right)=x-\ln \left(x\right)

Correction
ff est dérivable sur ]0;5]\left]0;5\right].
Ici on reconnaît la forme : (w+uv+z)′=w′+u′v+uv′+z′\left(w+uv+z\right)'=w'+u'v+uv'+z' avec w(x)=x22+xw\left(x\right)=\frac{x^{2}}{2}+x ; u(x)=xu\left(x\right)=x ; v(x)=ln⁡(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right) et enfin z(x)=32z\left(x\right)=\frac{3}{2}. Ainsi : w′(x)=x+1w'\left(x\right)=x+1 ; u′(x)=1u'\left(x\right)=1 ; v′(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} et z′(x)=0z'\left(x\right)=0.
Il vient alors que :
f′(x)=x+1−(ln⁡(x)+x×1x)f'\left(x\right)=x+1-\left(\ln \left(x\right)+x\times \frac{1}{x}\right)
f′(x)=x+1−(ln⁡(x)+1)f'\left(x\right)=x+1-\left(\ln \left(x\right)+1\right)
f′(x)=x+1−ln⁡(x)−1f'\left(x\right)=x+1-\ln \left(x\right)-1
Ainsi :
f′(x)=x−ln⁡(x)f'\left(x\right)=x-\ln \left(x\right)
Question 2

Calculer f′′(x)f''\left(x\right) , où f′′f'' est la dérivée seconde de ff.

Correction
Comme f′(x)=x−ln⁡(x)f'\left(x\right)=x-\ln \left(x\right) alors f′′(x)=1−1xf''\left(x\right)=1-\frac{1}{x}. Nous allons tout mettre au même dénominateur.
Il en résulte que :
f′′(x)=x−1xf''\left(x\right)=\frac{x-1}{x}
Question 3

Etudier le signe de f′′f'', en déduire le tableau de variation de f′f' sur l'intervalle ]0;5]\left]0;5\right].

Correction
Pour tout réel xx appartenant à l'intervalle ]0;5]\left]0;5\right], on sait que xx est strictement positif.
Donc le signe de f′′f'' dépend alors du numérateur x−1x-1.
x−1>0x-1>0 alors x>1x>1.
Cela signifie que :
  • f′′(x)>0f''\left(x\right)>0 lorsque x>1x>1
  • f′′(x)<0f''\left(x\right)<0 lorsque x<1x<1
    • Nous traduisons cela dans un tableau de variation, donné ci-dessous :
    Question 4

    Justifier le signe de f′f', en déduire que la fonction ff est strictement croissante sur ]0;5]\left]0;5\right].

    Correction
    D'après le tableau de variation de f′f', on vérifie facilement que f′f' admet un minimum lorsque x=1x=1. Calculons alors celui-ci.
    Ainsi : f′(1)=1−ln⁡(1)=1f'\left(1\right)=1-\ln \left(1\right)=1.
    Il en résulte donc que la fonction f′f' admet un minimum qui vaut 11 lorsque x=1x=1. Cela signifie que pour tout réel xx appartenant à l'intervalle ]0;5]\left]0;5\right], on a :
    f′(x)>0f'\left(x\right)>0
    .
    Finalement, la fonction ff est strictement croissante sur ]0;5]\left]0;5\right]. Nous traduisons toute ces informations dans un tableau de variation, donné ci dessous :
    Question 5

    Déterminer une équation de la tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 33.

    Correction
    L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
    Ici a=3a=3, ce qui donne, y=f′(3)(x−3)+f(3)y=f'\left(3\right)\left(x-3\right)+f\left(3\right).
    1ère étape : calculer f(2)f\left(2\right)
    f(3)=322+3−3ln⁡(3)+32f\left(3\right)=\frac{3^{2}}{2}+3-3\ln \left(3\right)+\frac{3}{2}
    f(3)=9−3ln⁡(3)f\left(3\right)=9-3\ln \left(3\right)
    2ème étape : calculer f′(3)f'\left(3\right)
    f′(3)=3−ln⁡(3)f'\left(3\right)=3-\ln \left(3\right)
    3ème étape : on remplace les valeurs de f(3)f\left(3\right) et de f′(3)f'\left(3\right) dans la formule de l'équation de tangente.
    On sait que :
    y=f′(3)(x−3)+f(3)y=f'\left(3\right)\left(x-3\right)+f\left(3\right)
    y=(3−ln⁡(3))×(x−3)+9−3ln⁡(3)y=\left(3-\ln \left(3\right)\right)\times \left(x-3\right)+9-3\ln \left(3\right)
    y=(3−ln⁡(3))×(x−3)y=\left(3-\ln \left(3\right)\right)\times \left(x-3\right)
    Ainsi l'équation de la tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 33 est alors :
    y=(3−ln⁡(3))×(x−3)y=\left(3-\ln \left(3\right)\right)\times \left(x-3\right)
    .
    Question 6
    Partie B
    Une entreprise produit et commercialise un article. Sa capacité de production quotidienne est limitée à 55 milliers d'articles. La fonction ff modélise sur l'intervalle ]0;5]\left]0;5\right] le coût total de production exprimé en milliers d'euros, où xx désigne le nombre de milliers d'articles fabriqués.
    On note CM(x)C_{M}\left(x\right) le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué.
    CMC_{M} est la fonction définie sur l'intervalle ]0;5]\left]0;5\right] par CM(x)=f(x)xC_{M}\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{x}. On admet que la fonction CMC_{M} est dérivable sur l'intervalle ]0;5]\left]0;5\right] et on appelle C′C' sa fonction dérivée tel que C′(x)=x2−2x−32x2C'\left(x\right)=\frac{x^{2}-2x-3}{2x^{2}}.

    Etudier les variations de CMC_{M} sur ]0;5]\left]0;5\right].

    Correction
    Pour obtenir les variations de CMC_{M}, il nous faut étudier le signe de C′(x)=x2−2x−32x2C'\left(x\right)=\frac{x^{2}-2x-3}{2x^{2}}.
    Pour tout réel xx appartenant à l'intervalle ]0;5]\left]0;5\right], on sait que 2x22x^{2} est strictement positif.
    Donc le signe de C′C' dépend alors du numérateur x2−2x−3x^{2}-2x-3.
    Pour étudier le signe de x2−2x−3x^{2}-2x-3, nous allons utiliser le discriminant.
    Ainsi : Δ=16\Delta =16; x1=−1x_{1} =-1 et x2=3x_{2} =3
    a=1>0a=1>0, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que C′C' est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.
    De plus : CM(3)=f(3)3C_{M}\left(3\right)=\frac{f\left(3\right)}{3} D'où : CM(3)=3−ln⁡(3)≈1,901C_{M}\left(3\right)=3-\ln \left(3\right)\approx1,901
    Le tableau de variation de CMC_{M} est donné ci-dessous :
    Question 7

    Déterminer la quantité d'articles à fabriquer pour que le coût moyen soit minimal. Déterminer alors, au centime d'euro près, ce coût moyen.

    Correction
    Pour que le coût soit minimal, il faut fabriquer 30003000 articles. Ce coût moyen s'élève à 1,901,90 euros.