Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 3

$$g$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
.
Or pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle, on vérifie aisément que $$\frac{1}{x}+1>0$$. Ainsi : $$g'\left(x\right)>0$$.
La fonction $$f$$ est donc strictement croissante sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
Nous traduisons cela dans un tableau de variation :

Commençons par calculer $$g\left(1\right)$$.
$$g\left(1\right)=\ln \left(1\right)+1-1$$ d'où :
Nous intégrons cette information dans le tableau de variation ci-dessous :
On a vu précédemment que $$g\left(1\right)=0$$.
Sur $$\left]0;+\infty\right]$$, la fonction $$g$$ est continue et strictement croissante et $$g(1) = 0$$
Donc $$g(x)\le0$$ pour tout $$x\in \left]0;1\right]$$ et $$g(x)\ge0$$ pour tout $$x\in\left[1;+\infty\right]$$
On résume cela dans un tableau de signe :

Soit $$f$$ la fonction définie sur $$\left]0;+\infty \right[$$ par $$f\left(x\right)=\frac{x-1}{x} \ln \left(x\right)$$.
Nous allons poser la fonction $$h$$ définie sur $$\left]0;+\infty \right[$$ par : $$h\left(x\right)=\frac{x-1}{x}$$ et calculer la dérivée de $$h$$.
On reconnaît la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=x-1$$ et $$v\left(x\right)=x$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=1$$ et $$v'\left(x\right)=1$$.
Il vient alors que :
$$h'\left(x\right)=\frac{1\times \left(x\right)-\left(x-1\right)\times \left(1\right)}{\left(x\right)^{2} }$$
$$h'\left(x\right)=\frac{x-x+1}{x^{2} }$$

Maintenant nous allons calculer la dérivée de $$f$$ la fonction définie sur $$\left]0;+\infty \right[$$ par $$f\left(x\right)=\frac{x-1}{x} \ln \left(x\right)$$.
On reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=\frac{x-1}{x}$$ et $$v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=\frac{1}{x^{2} }$$ et $$v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{1}{x^{2} }\times \ln \left(x\right)+\frac{x-1}{x}\times \frac{1}{x}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{x^{2} } +\frac{x-1}{x^{2}}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)+x-1}{x^{2} }$$
Il en résulte donc que :

Nous avons vu que :
Pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left]0;+\infty \right[$$, nous connaissons le signe de $$g$$ d'après la question $$3$$ et nous savons également que $$x^{2}>0$$.
Nous allons traduire toutes ces informations à l'aide d'un tableau de variation :