La fonction logarithme

Exercices types : 11ère partie - Exercice 2

20 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie sur ]0;10]\left]0;10\right] par f(x)=−xln⁡x+2x+1f\left(x\right)=-x\ln x+2x+1 . On note CfC_{f} la courbe représentative de la fonction ff.

Calculer f′(x)f'\left(x\right).

Correction
ff est dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
Ici on reconnaît la forme : (uv+w)′=u′v+uv′+w′\left(uv+w\right)'=u'v+uv'+w' avec u(x)=−xu\left(x\right)=-x ; v(x)=ln⁡(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right) et w(x)=2x+1w\left(x\right)=2x+1
Ainsi : u′(x)=−1u'\left(x\right)=-1 ; v′(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} et w′(x)=2w'\left(x\right)=2.
Il vient alors que :
f′(x)=−1×ln⁡(x)−x×1x+2f'\left(x\right)=-1\times \ln \left(x\right)-x\times \frac{1}{x} +2 équivaut successivement à :
f′(x)=−ln⁡(x)−xx+2f'\left(x\right)=-\ln \left(x\right)-\frac{x}{x}+2
f′(x)=−ln⁡(x)−1+2f'\left(x\right)=-\ln \left(x\right)-1+2
f′(x)=−ln⁡(x)+1f'\left(x\right)=-\ln \left(x\right)+1
Question 2

Démontrer que la fonction ff admet un maximum sur l'intervalle ]0;10]\left]0;10\right].
Calculer la valeur exacte du maximum de la fonction ff sur ce même intervalle.

Correction
Sur l'intervalle ]0;10]\left]0;10\right], on a : f′(x)=−ln⁡(x)+1f'\left(x\right)=-\ln \left(x\right)+1.
Etudions le signe de f′f'.
−ln⁡(x)+1≥0-\ln \left(x\right)+1\ge0 équivaut successivement à :
−ln⁡(x)≥−1-\ln \left(x\right)\ge-1
ln⁡(x)≤1\ln \left(x\right)\le1
ln⁡(x)≤ln⁡(e)\ln \left(x\right)\le\ln \left(e\right)
x≤ex\le e
Cela signifie que f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge0 dès que x≤ex\le e et que f′(x)≤0f'\left(x\right)\le0 dès que x≥ex\ge e.
De plus :
f(e)=−eln⁡e+2×e+1f\left(e\right)=-e\ln e+2\times e+1
f(e)=−e+2e+1f\left(e\right)=-e+2e+1
f(e)=e+1f\left(e\right)=e+1
Nous traduisons maintenant toutes ces informations dans un tableau de variation.
Question 3

Montrer que la courbe CfC_{f} est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes sur l’intervalle ]0;10]\left]0;10\right].

Correction
La courbe CfC_{f} est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes sur l’intervalle ]0;10]\left]0;10\right] signifie que ff est concave sur l’intervalle ]0;10]\left]0;10\right].
Pour étudier la convexité de la fonction ff, il faut étudier le signe de f′′f''.
  • Lorsque f′′(x)≥0f''\left(x\right)\ge 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors ff est convexe et ff est située au-dessus de ses tangentes.
  • Lorsque f′′(x)≤0f''\left(x\right)\le 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors ff est concave et ff est située en dessous de ses tangentes.
Sur l'intervalle ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[, on sait que : f′(x)=−ln⁡(x)+1f'\left(x\right)=-\ln \left(x\right)+1.
Il vient alors que :
f′′(x)=−1xf''\left(x\right)=-\frac{1}{x} . Comme xx appartient à l'intervalle ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[ alors f′′(x)<0f''\left(x\right)<0 dès que x>0x>0. On en déduit le tableau suivant :
Question 4
On admet que la fonction FF définie par F(x)=−x22ln⁡x+54x2+x−7F\left(x\right)=-\frac{x^{2}}{2}\ln x+\frac{5}{4}x^{2}+x-7
est une primitive de la fonction ff sur l’intervalle ]0;10]\left]0;10\right].

Calculer la valeur exacte de I=∫12f(x)dxI=\int _{1}^{2}f\left(x\right) dx

Correction
Comment calculer l'intégrale I=∫abf(x)dxI=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx ?
1ère étape : on calcule une primitive de ff notée FF.
2ème étape : I=F(b)−F(a)I=F\left(b\right)-F\left(a\right) et on effectue le calcul numérique.
I=∫12f(x)dxI=\int _{1}^{2}f\left(x\right) dx équivaut successivement à :
I=F(2)−F(1)I=F\left(2\right)-F\left(1\right)
I=(−222ln⁡(2)+54×22+2−7)−(−122ln⁡(1)+54×12+1−7)I=\left(-\frac{2^{2} }{2} \ln \left(2\right)+\frac{5}{4} \times 2^{2} +2-7\right)-\left(-\frac{1^{2} }{2} \ln \left(1\right)+\frac{5}{4} \times 1^{2} +1-7\right)
I=(−2ln⁡(2)+5+2−7)−(54+1−7)I=\left(-2\ln \left(2\right)+5+2-7\right)-\left(\frac{5}{4} +1-7\right)
I=(−2ln⁡(2))−(−194)I=\left(-2\ln \left(2\right)\right)-\left(-\frac{19}{4} \right)
Finalement :
∫12(f(x))dx=−2ln⁡(2)+194\int _{1}^{2}\left(f\left(x\right)\right) dx=-2\ln \left(2\right)+\frac{19}{4}