Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 1

$$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$. Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=2x+2-\frac{4}{x}$$. Nous allons tout mettre au même dénominateur.
Ainsi :

On sait que : $$f'\left(x\right)=\frac{2x^{2}+2x-4}{x}$$
Pour tout $$x$$ appartenant à $$\left]0;+\infty \right[$$, on a $$x>0$$, donc le signe de $$f'$$ est alors du signe de $$2x^{2}+2x-4$$.
Pour étudier le signe de $$2x^{2}+2x-4$$, nous allons utiliser le discriminant.
Ainsi : $$\Delta =36$$; $$x_{1} =-2$$ et $$x_{2} =1$$
$$a=2>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f'$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
De plus : $$f\left(1\right)=1^{2}+2-1-4\ln 1$$ c'est à dire $$f\left(1\right)=2$$
On en déduit le tableau de variation suivant :

Sur l'intervalle $$\left]0;+\infty \right[$$ , la courbe $$C_{f}$$ admet un minimum qui vaut $$2$$ lorsque $$x=1$$.
Il en résulte donc que la fonction $$f$$ est strictement positive sur $$\left]0;+\infty \right[$$. Le tableau de signe de $$f$$ est donnée ci-dessous:

Pour étudier la convexité de la fonction $$f$$, il faut étudier le signe de $$f''$$.
Sur l'intervalle $$\left]0;+\infty \right[$$, on sait que : $$f'\left(x\right)=\frac{2x^{2}+2x-4}{x}$$
On reconnaît la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=2x^{2} +2x-4$$ et $$v\left(x\right)=x$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=4x+2$$ et $$v'\left(x\right)=1$$.
Il vient alors que :
$$f''\left(x\right)=\frac{\left(4x+2\right)\times x-\left(2x^{2}+2x-4\right)\times \left(1\right)}{\left(x\right)^{2} }$$
$$f''\left(x\right)=\frac{\left(4x^{2} +2x\right)-\left(2x^{2}+2x-4\right)}{\left(x\right)^{2} }$$
$$f''\left(x\right)=\frac{4x^{2} +2x-2x^{2}-2x+4}{\left(x\right)^{2} }$$

Pour tout $$x$$ appartenant à $$\left]0;+\infty \right[$$ , on a : $$x^{2}>0$$ et $$2x^{2}+4>0$$. Il en résulte que : $$f''\left(x\right)>0$$ sur l'intervalle $$\left]0;+\infty \right[$$.

Ici $$a=2$$, ce qui donne, $$y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)$$.
1^ère étape : calculer $$f\left(2\right)$$
$$f\left(2\right)=2^{2}+2\times 2-1-4\ln 2$$
$$f\left(2\right)=7-4\ln 2$$
2^ème étape : calculer $$f'\left(2\right)$$
$$f'\left(2\right)=\frac{2\times 2^{2}+2\times 2-4}{2}$$
$$f'\left(2\right)=4$$
3^ème étape : on remplace les valeurs de $$f\left(2\right)$$ et de $$f'\left(2\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)$$
$$y=4\times \left(x-2\right)+7-4\ln 2$$
$$y=4x-8+7-4\ln 2$$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$C_{f}$$ au point d'abscisse $$2$$ est alors : .