Exercice 9 - Exercice 1

$$f'\left(x\right)=-2x+10-\frac{8}{x}$$ . Nous allons maintenant tout mettre au même dénominateur.
$$f'\left(x\right)=\frac{-2x\times x}{x} +\frac{10\times x}{x} -\frac{8}{x}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-2x^{2} }{x} +\frac{10x}{x} -\frac{8}{x}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-2x^{2} +10x-8}{x}$$

Sur l'intervalle $$\left[1;6\right]$$, $$x>0$$ donc $$f'(x)$$ est du signe de $$-2x^{2} +10x-8$$.
On cherche le signe de $$-2x^{2} +10x-8$$.
On va utiliser le discriminant :
$$\Delta =10^{2} -4\times \left(-2\right)\times \left(-8\right)$$
$$\Delta =36$$.
Il existe donc deux solutions que l'on note
Les racines du polynôme sont :
$$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} =\frac{-10-6}{-4} =4$$
$$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} =\frac{-10+6}{-4} =1.$$
Comme $$a=-3<0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f'$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
De plus :

• $$f\left(1\right)=-1^{2}+10\times1-9-8\ln \left(1\right)$$ d'où : $$f\left(1\right)=0$$
• $$f\left(4\right)=-4^{2}+10\times4-9-8\ln \left(4\right)$$ d'où : $$f\left(4\right)=15-8\ln \left(4\right)$$
• $$f\left(6\right)=-6^{2}+10\times6-9-8\ln \left(6\right)$$ d'où : $$f\left(6\right)=15-8\ln \left(6\right)$$

D'où le tableau de variation de la fonction $$f$$ :

Autrement dit, dans notre cas, il faut montrer que : $$g'\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$
Soit $$g\left(x\right)=x\ln \left(x\right)-x$$ .
Ici on reconnaît la forme : $$\left(uv+w\right)'=u'v+uv'+w'$$ avec $$u\left(x\right)=x$$ ; $$v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$ et $$w\left(x\right)=-x$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=1$$ ; $$v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$ et $$w'\left(x\right)=-1$$.
Il vient alors que :
$$g'\left(x\right)=1\times \ln \left(x\right)+x\times \frac{1}{x} -1$$ équivaut successivement à :
$$g'\left(x\right)=\ln \left(x\right)+\frac{x}{x}-1$$
$$g'\left(x\right)=\ln \left(x\right)+1-1$$
D'où :
Nous venons de montrer que $$x\mapsto x\ln \left(x\right)-x$$ est une primitive de la fonction $$x\mapsto \ln \left(x\right)$$

Nous rappelons que : $$f\left(x\right)=-x^{2}+10x-9-8\ln \left(x\right)$$ et nous savons également que $$x\mapsto x\ln \left(x\right)-x$$ est une primitive de la fonction $$x\mapsto \ln \left(x\right)$$ .
Il en résulte donc que :
$$F\left(x\right)=-\frac{1}{3}x^{3}+10\times \frac{1}{2}x^{2}-9x-8\times\left(x\ln \left(x\right)-x\right)$$
$$F\left(x\right)=-\frac{1}{3}x^{3}+5x^{2}-9x-8x\ln \left(x\right)+8x$$

On a :
$$m=\frac{1}{6-1} \int _{1}^{6}f\left(x\right)dx$$
$$m=\frac{1}{5} \int _{1}^{6}f\left(x\right)dx$$
$$m=\frac{1}{5} \times \left(F\left(6\right)-F\left(1\right)\right)$$
$$m=\frac{1}{5} \times \left[-\frac{1}{3} \times 6^{3} +5\times 6^{2} -6-8\times 6\ln \left(6\right)-\left(-\frac{1}{3} \times 1^{3} +5\times 1^{2} -1-8\times 1\ln \left(1\right)\right)\right]$$
$$m=\frac{1}{5} \times \left[-72+180-6-48\ln \left(6\right)-\left(-\frac{1}{3} +5-1\right)\right]$$
$$m=\frac{1}{5} \times \left[102-48\ln \left(6\right)-\left(\frac{11}{3} \right)\right]$$
$$m=\frac{1}{5} \times \left[102-48\ln \left(6\right)-\frac{11}{3} \right]$$
. Il s'agit de la valeur exacte.
au dixième près.