Exercice 3 - Exercice 1

La bonne réponse est a.
On commence donc à déterminer une primitive de $$f$$.
Ainsi $$F\left(x\right)=\frac{1}{3} \ln \left(x\right)$$ .
Comme on veut une primitive on n'a pas besoin de mettre le $$k\in R$$
Ensuite, on applique la formule de la valeur moyenne :
$$m=\frac{1}{6-1} \int _{1}^{6}\frac{1}{3x} dx$$ équivaut successivement à
$$m=\frac{1}{5} \left(F\left(6\right)-F\left(1\right)\right)$$
$$m=\frac{1}{5} \left(\left(\frac{1}{3} \ln \left(6\right)\right)-\left(\frac{1}{3} \ln \left(1\right)\right)\right)$$
Finalement :

La bonne réponse est c.
La formule de l'équation de la tangente au point d'abscisse $$a$$ est $$y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)$$
Il vient alors que : $$y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$
Calculons, tout d'abord, la dérivée de $$f$$.
On a :
$$f\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+4x-5$$
$$f'\left(x\right)=\frac{2}{x} +4$$
Ensuite,
$$f'\left(1\right)=2+4$$ alors $$f'\left(1\right)=6$$
$$f\left(1\right)=2\ln \left(1\right)+4\times 1-5=-1$$
Or $$y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$, d'où
$$y=6\left(x-1\right)-1$$
$$y=6x-6-1$$

La bonne réponse est a.
Dans la pratique, il faut tester chacune des propositions pour voir laquelle est correcte.
Effectuons la dérivée de $$h$$.
$$h\left(x\right)=2x\ln \left(x\right)-2x$$.
On reconnait la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=2x$$; $$v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=2$$ et $$v\left(x\right)=\frac{1}{x}$$
D'où :
$$h'\left(x\right)=2\times \ln \left(x\right)+2x\times \frac{1}{x} -2$$
$$h'\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+\frac{2x}{x} -2$$
$$h'\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+2-2$$
$$h'\left(x\right)=2\ln \left(x\right)$$

Cela signifie que $$h$$ est une primitive de $$g$$ sur $$\left]0;+\infty \right[$$

La bonne réponse est a.
On va écrire de manière plus simple $$f$$ afin de calculer une primitive de $$f$$.
$$f\left(x\right)=\frac{4x^{2} +3x-5}{6x}$$ équivaut successivement à
$$f\left(x\right)=\frac{4x^{2} }{6x} +\frac{3x}{6x} +\frac{-5}{6x}$$
$$f\left(x\right)=\frac{2}{3} x+\frac{1}{2} -\frac{5}{6} \times \frac{1}{x}$$
On peut maintenant calculer une primitive de $$f$$.
Il vient alors :
$$F\left(x\right)=\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} x^{2} +\frac{1}{2} x-\frac{5}{6} \ln \left(x\right)$$

La bonne réponse est a.
D'après l'énoncé, on en déduit deux informations :

• $$f\left(1\right)=4$$
• Le nombre $$f'\left(1\right)$$ désigne le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe au point d'abscisse $$1$$.
  Dans cet exercice la tangente au point d'abscisse 1 est parallèle à la droite d'équation $$y=4x-1$$ donc $$f'\left(1\right)=4$$.

Tout d'abord, calculons la dérivée de $$f$$.
$$f$$ une fonction dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$, on a :
$$f'\left(x\right)=2x+a+\left(b\ln \left(x\right)+bx\times \frac{1}{x} \right)$$
$$f'\left(x\right)=2x+a+b\ln \left(x\right)+bx\times \frac{1}{x}$$
$$f'\left(x\right)=2x+a+b\ln \left(x\right)+b$$

Maintenant exploitons les informations de l'énoncé.

• $$f\left(1\right)=4$$ équivaut successivement à
  $$1^{2} +a\times 1+b\times 1\times \ln \left(1\right)=4$$$$1^{2} +a\times 1=4$$
  
  $$a=3$$

$$f'\left(1\right)=4$$ équivaut successivement à
$$2\times 1+a+b\ln \left(1\right)+b=4$$
$$2+a+b=4$$~; or $$a=3$$
$$2+3+b=4$$

Ainsi $$f\left(x\right)=x^{2} +3x-x\ln \left(x\right)$$

La bonne réponse est c.
$$2\times \left(4\right)^{n} \ge 8000$$ équivaut successivement à
$$\left(4\right)^{n} \ge \frac{8000}{2}$$
$$\left(4\right)^{n} \ge 4000$$
$$\ln \left(4\right)^{n} \ge \ln \left(4000\right)$$
$$n\times \ln \left(4\right)\ge \ln \left(4000\right)$$
$$n\ge \frac{\ln \left(4000\right)}{\ln \left(4\right)}$$ .
On cherche la valeur de $$\frac{\ln \left(4000\right)}{\ln \left(4\right)}$$ à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
(à la calculatrice on obtient $$\frac{\ln \left(\frac{1}{9} \right)}{\ln \left(0,68\right)} \approx 5,98$$ et on arrondi à l'entier supérieur)

La bonne réponse est b.
$$\ln \left(x\right)+\ln \left(x+2\right)=2\ln \left(4\right)-\ln \left(2\right)$$ équivaut successivement à
$$\ln \left(x\times \left(x+2\right)\right)=\ln \left(4^{2} \right)-\ln \left(2\right)$$
$$\ln \left(x^{2} +2x\right)=\ln \left(16\right)-\ln \left(2\right)$$
$$\ln \left(x^{2} +2x\right)=\ln \left(\frac{16}{2} \right)$$
$$\ln \left(x^{2} +2x\right)=\ln \left(8\right)$$
$$x^{2} +2x=8$$

La bonne réponse est a.
$$M=\ln \left(\frac{1}{6^{3} } \right)-4\ln \left(\sqrt{6} \right)+3\ln \left(6^{2} \right)$$ équivaut successivement à
$$M=\ln \left(\left(\frac{1}{6} \right)^{3} \right)-4\ln \left(\sqrt{6} \right)+3\ln \left(6^{2} \right)$$ car $$\frac{1}{6^{3} } =\left(\frac{1}{6} \right)^{2}$$
$$M=3\ln \left(\frac{1}{6} \right)-4\times \frac{1}{2} \ln \left(6\right)+3\times 2\ln \left(6\right)$$
$$M=3\ln \left(\frac{1}{6} \right)-2\ln \left(6\right)+6\ln \left(6\right)$$
$$M=-3\ln \left(6\right)-2\ln \left(6\right)+6\ln \left(6\right)$$

La bonne réponse est b.
On reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=2x^{2}$$~et $$v\left(x\right)=x-\ln \left(x\right)$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=4x$$ et $$v'\left(x\right)=1-\frac{1}{x}$$.
Il vient que :
$$f'\left(x\right)=4x\left(x-\ln \left(x\right)\right)+2x^{2} \left(1-\frac{1}{x} \right)$$
$$f'\left(x\right)=4x^{2} -4x\ln \left(x\right)+2x^{2} -2x^{2} \times \frac{1}{x}$$