Exercice 3 - La fonction logarithme - TES

Question 1

Sur l'intervalle $\left[1;6\right]$ la valeur moyenne de la fonction $f$ définie par $f\left(x\right)=\frac{1}{3x}$ est égale à :
$m=\frac{1}{15} \ln \left(6\right)$
$m=\frac{1}{5} \ln \left(6\right)$
$m=\ln \left(6\right)$

Correction

La bonne réponse est a.

Soit

f

une fonction continue sur un intervalle

\left[a;b\right]

.
La valeur moyenne de la fonction

f

sur

\left[a;b\right]

est le réel

m

défini par :

m=\frac{1}{b-a} \int _{a}^{b}f\left(x\right) dx

On commence donc à déterminer une primitive de

f

.
Ainsi

F\left(x\right)=\frac{1}{3} \ln \left(x\right)

.
Comme on veut une primitive on n'a pas besoin de mettre le

k\in R

Ensuite, on applique la formule de la valeur moyenne :

m=\frac{1}{6-1} \int _{1}^{6}\frac{1}{3x} dx

équivaut successivement à

m=\frac{1}{5} \left(F\left(6\right)-F\left(1\right)\right)

m=\frac{1}{5} \left(\left(\frac{1}{3} \ln \left(6\right)\right)-\left(\frac{1}{3} \ln \left(1\right)\right)\right)

Finalement :

m=\frac{1}{15} \ln \left(6\right)

Question 2

Soit $f$ la fonction définie sur $\left]0,7\right]$ par $f\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+4x-5$ .
La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $1$ est :
$y=7x+6$
$y=6x+7$
$y=6x-7$

Correction

La bonne réponse est c.
La formule de l'équation de la tangente au point d'abscisse

a

est

y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)

Il vient alors que :

y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)

Calculons, tout d'abord, la dérivée de

f

.
On a :

f\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+4x-5

f'\left(x\right)=\frac{2}{x} +4

Ensuite,

f'\left(1\right)=2+4

alors

f'\left(1\right)=6

f\left(1\right)=2\ln \left(1\right)+4\times 1-5=-1

Or

y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)

, d'où

y=6\left(x-1\right)-1

y=6x-6-1

y=6x-7

Question 3

Soient $f$ , $g$ et $h$ les fonctions définies sur $\left]0;+\infty \right[$
$f\left(x\right)=\frac{2}{x}$ , $g\left(x\right)=2\ln \left(x\right)$ et $h\left(x\right)=2x\ln \left(x\right)-2x$
$h$ est une primitive de $g$ sur $\left]0;+\infty \right[$
$g$ est la dérivée de $f$ sur $\left]0;+\infty \right[$
$h$ est la dérivée seconde de $f$ sur $\left]0;+\infty \right[$

Correction

La bonne réponse est a.
Dans la pratique, il faut tester chacune des propositions pour voir laquelle est correcte.
Effectuons la dérivée de

h

.

h\left(x\right)=2x\ln \left(x\right)-2x

.
On reconnait la forme

\left(uv\right)'=u'v+uv'

avec

u\left(x\right)=2x

;

v\left(x\right)=\ln \left(x\right)

.
Ainsi

u'\left(x\right)=2

et

v\left(x\right)=\frac{1}{x}

D'où :

h'\left(x\right)=2\times \ln \left(x\right)+2x\times \frac{1}{x} -2

h'\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+\frac{2x}{x} -2

h'\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+2-2

h'\left(x\right)=2\ln \left(x\right)

h'\left(x\right)=g\left(x\right)

Cela signifie que

h

est une primitive de

g

sur

\left]0;+\infty \right[

Question 4

Sur $\left]0;+\infty \right[$ , la fonction $f$ définie par $f\left(x\right)=\frac{4x^{2} +3x-5}{6x}$ a pour primitive :
$F\left(x\right)=\frac{1}{3} x^{2} +\frac{1}{2} x-\frac{5}{6} \ln \left(x\right)$
$F\left(x\right)=\frac{\frac{4}{3} x^{3} +\frac{3}{2} x^{2} -5x}{3x^{2} }$
$F\left(x\right)=x^{2} +x-\ln \left(x\right)$

Correction

La bonne réponse est a.
On va écrire de manière plus simple

f

afin de calculer une primitive de

f

.

f\left(x\right)=\frac{4x^{2} +3x-5}{6x}

équivaut successivement à

f\left(x\right)=\frac{4x^{2} }{6x} +\frac{3x}{6x} +\frac{-5}{6x}

f\left(x\right)=\frac{2}{3} x+\frac{1}{2} -\frac{5}{6} \times \frac{1}{x}

On peut maintenant calculer une primitive de

f

.
Il vient alors :

F\left(x\right)=\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} x^{2} +\frac{1}{2} x-\frac{5}{6} \ln \left(x\right)

F\left(x\right)=\frac{1}{3} x^{2} +\frac{1}{2} x-\frac{5}{6} \ln \left(x\right)

Question 5

Soit

f

une fonction définie sur

\left]0;+\infty \right[

par

f\left(x\right)=x^{2} +ax+bx\ln \left(x\right)

où

a

et

b

sont deux réels.
La courbe représentative de la fonction

f

passe par le point

A\left(1;4\right)

et admet en ce point une tangente parallèle à la droite d'équation

y=4x-1

.

La fonction $f$ s'écrit :
$f\left(x\right)=x^{2} +3x-x\ln \left(x\right)$
$f\left(x\right)=-x^{2} -3x+x\ln \left(x\right)$
$f\left(x\right)=2x^{2} +6x-x\ln \left(x\right)$

Correction

La bonne réponse est a.
D'après l'énoncé, on en déduit deux informations :

$f\left(1\right)=4$
Le nombre $f'\left(1\right)$ désigne le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe au point d'abscisse $1$ .
Dans cet exercice la tangente au point d'abscisse 1 est parallèle à la droite d'équation $y=4x-1$ donc $f'\left(1\right)=4$ .

Tout d'abord, calculons la dérivée de

f

.

f

une fonction dérivable sur

\left]0;+\infty \right[

, on a :

f'\left(x\right)=2x+a+\left(b\ln \left(x\right)+bx\times \frac{1}{x} \right)

f'\left(x\right)=2x+a+b\ln \left(x\right)+bx\times \frac{1}{x}

f'\left(x\right)=2x+a+b\ln \left(x\right)+b

Maintenant exploitons les informations de l'énoncé.

$f\left(1\right)=4$ équivaut successivement à
$1^{2} +a\times 1+b\times 1\times \ln \left(1\right)=4$ $1^{2} +a\times 1=4$
$a=3$

f'\left(1\right)=4

équivaut successivement à

2\times 1+a+b\ln \left(1\right)+b=4

2+a+b=4

~; or

a=3

2+3+b=4

b=-1

Ainsi

f\left(x\right)=x^{2} +3x-x\ln \left(x\right)

Question 6

Soit $n$ un entier naturel, l'ensemble des solutions de l'inéquation $2\times \left(4\right)^{n} \ge 8000$ est :
$n\ge 5,7$
$n\ge 5,98$
$n\ge 6$

Correction

La bonne réponse est c.

2\times \left(4\right)^{n} \ge 8000

équivaut successivement à

\left(4\right)^{n} \ge \frac{8000}{2}

\left(4\right)^{n} \ge 4000

\ln \left(4\right)^{n} \ge \ln \left(4000\right)

n\times \ln \left(4\right)\ge \ln \left(4000\right)

n\ge \frac{\ln \left(4000\right)}{\ln \left(4\right)}

.
On cherche la valeur de

\frac{\ln \left(4000\right)}{\ln \left(4\right)}

à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.

n\ge 6

(à la calculatrice on obtient

\frac{\ln \left(4000\right)}{\ln \left(4\right)} \approx 5,98

et on arrondi à l'entier supérieur)

Question 7

Pour tout réel $x>0$ , l'équation $\ln \left(x\right)+\ln \left(x+2\right)=2\ln \left(4\right)-\ln \left(2\right)$ peut également s'écrire :
$2x-4=0$
$x^{2} +2x-8=0$
$x^{2} +x+1=0$

Correction

La bonne réponse est b.

\ln \left(x\right)+\ln \left(x+2\right)=2\ln \left(4\right)-\ln \left(2\right)

équivaut successivement à

\ln \left(x\times \left(x+2\right)\right)=\ln \left(4^{2} \right)-\ln \left(2\right)

\ln \left(x^{2} +2x\right)=\ln \left(16\right)-\ln \left(2\right)

\ln \left(x^{2} +2x\right)=\ln \left(\frac{16}{2} \right)

\ln \left(x^{2} +2x\right)=\ln \left(8\right)

x^{2} +2x=8

x^{2} +2x-8=0

Question 8

L'expression $M=\ln \left(\frac{1}{6^{3} } \right)-4\ln \left(\sqrt{6} \right)+3\ln \left(6^{2} \right)$ est égale à :
$M=\ln \left(6\right)$
$M=-2\ln \left(6\right)$
$M=4\ln \left(6\right)$

Correction

La bonne réponse est a.

M=\ln \left(\frac{1}{6^{3} } \right)-4\ln \left(\sqrt{6} \right)+3\ln \left(6^{2} \right)

équivaut successivement à

M=\ln \left(\left(\frac{1}{6} \right)^{3} \right)-4\ln \left(\sqrt{6} \right)+3\ln \left(6^{2} \right)

car

\frac{1}{6^{3} } =\left(\frac{1}{6} \right)^{3}

M=3\ln \left(\frac{1}{6} \right)-4\times \frac{1}{2} \ln \left(6\right)+3\times 2\ln \left(6\right)

M=3\ln \left(\frac{1}{6} \right)-2\ln \left(6\right)+6\ln \left(6\right)

M=-3\ln \left(6\right)-2\ln \left(6\right)+6\ln \left(6\right)

M=\ln \left(6\right)

Question 9

Soit $f$ la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=2x^{2} \left(x-\ln \left(x\right)\right)$ .
La dérivée de
$f'\left(x\right)=4x\left(1-\frac{1}{x} \right)$
$f'\left(x\right)=6x^{2} -4x\ln \left(x\right)-2x$
$f'\left(x\right)=2x^{2} \left(1-\frac{1}{x} +\ln \left(x\right)\right)$

Correction

La bonne réponse est b.
On reconnaît la forme

\left(uv\right)'=u'v+uv'

avec

u\left(x\right)=2x^{2}

~et

v\left(x\right)=x-\ln \left(x\right)

.
Ainsi :

u'\left(x\right)=4x

et

v'\left(x\right)=1-\frac{1}{x}

.
Il vient que :

f'\left(x\right)=4x\left(x-\ln \left(x\right)\right)+2x^{2} \left(1-\frac{1}{x} \right)

f'\left(x\right)=4x^{2} -4x\ln \left(x\right)+2x^{2} -2x^{2} \times \frac{1}{x}

f'\left(x\right)=6x^{2} -4x\ln \left(x\right)-2x

Exercice 3 - Exercice 1

Soit fff la fonction définie sur ]0,7]\left]0,7\right]]0,7] par f(x)=2ln⁡(x)+4x−5f\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+4x-5f(x)=2ln(x)+4x−5. La tangente à la courbe représentative de fff au point d'abscisse 111 est :y=7x+6y=7x+6y=7x+6y=6x+7y=6x+7y=6x+7y=6x−7y=6x-7y=6x−7

La fonction fff s'écrit :f(x)=x2+3x−xln⁡(x)f\left(x\right)=x^{2} +3x-x\ln \left(x\right)f(x)=x2+3x−xln(x)f(x)=−x2−3x+xln⁡(x)f\left(x\right)=-x^{2} -3x+x\ln \left(x\right)f(x)=−x2−3x+xln(x)f(x)=2x2+6x−xln⁡(x)f\left(x\right)=2x^{2} +6x-x\ln \left(x\right)f(x)=2x2+6x−xln(x)

Soit nnn un entier naturel, l'ensemble des solutions de l'inéquation 2×(4)n≥80002\times \left(4\right)^{n} \ge 80002×(4)n≥8000 est :n≥5,7n\ge 5,7n≥5,7n≥5,98n\ge 5,98n≥5,98n≥6n\ge 6n≥6

Pour tout réel x>0x>0x>0, l'équation ln⁡(x)+ln⁡(x+2)=2ln⁡(4)−ln⁡(2)\ln \left(x\right)+\ln \left(x+2\right)=2\ln \left(4\right)-\ln \left(2\right)ln(x)+ln(x+2)=2ln(4)−ln(2) peut également s'écrire :2x−4=02x-4=02x−4=0x2+2x−8=0x^{2} +2x-8=0x2+2x−8=0x2+x+1=0x^{2} +x+1=0x2+x+1=0

Soit $f$ la fonction définie sur $\left]0,7\right]$ par $f\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+4x-5$ .
La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $1$ est :
$y=7x+6$
$y=6x+7$
$y=6x-7$

La fonction $f$ s'écrit :
$f\left(x\right)=x^{2} +3x-x\ln \left(x\right)$
$f\left(x\right)=-x^{2} -3x+x\ln \left(x\right)$
$f\left(x\right)=2x^{2} +6x-x\ln \left(x\right)$

Soit $n$ un entier naturel, l'ensemble des solutions de l'inéquation $2\times \left(4\right)^{n} \ge 8000$ est :
$n\ge 5,7$
$n\ge 5,98$
$n\ge 6$

Pour tout réel $x>0$ , l'équation $\ln \left(x\right)+\ln \left(x+2\right)=2\ln \left(4\right)-\ln \left(2\right)$ peut également s'écrire :
$2x-4=0$
$x^{2} +2x-8=0$
$x^{2} +x+1=0$