Etudes de fonctions - Exercice 4

$$f$$ est dérivable sur $$\left]0 ;10\right]$$
On reconnaît la forme : $$\left(uv+w\right)'=u'v+uv'+w'$$ avec $$u\left(x\right)=-x$$ ; $$v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$ et $$w\left(x\right)=2x+1$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-1$$ ; $$v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$ et $$w'\left(x\right)=2$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=-\ln \left(x\right)-x\times \frac{1}{x} +2$$
$$f'\left(x\right)=-\ln \left(x\right)-1+2$$

D'après la question $$1$$, nous savons que :
Etudions le signe de $$f'$$.
$$-\ln \left(x\right)+1\ge 0$$ équivaut successivement :
$$-\ln \left(x\right)\ge -1$$
$$\ln \left(x\right)\le 1$$
$$\ln \left(x\right)\le \ln \left(e^{1} \right)$$
$$x\le e^{1}$$
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$-\ln \left(x\right)+1$$ dès que $$x\le e$$.
De plus, $$f$$ admet donc un maximum lorsque $$x=e$$
On a alors :
$$f\left(e\right)=-e\ln e+2e+1$$
$$f\left(e\right)=-e+2e+1$$

Nous allons maintenant donner ci-dessous le tableau de variation de $$f$$.

Ici, on nous demande d'étudier la convexité de la fonction $$f$$.
Pour étudier la convexité de la fonction $$f$$, il faut étudier le signe de $$f''$$.
Nous savons que $$f'\left(x\right)=-\ln \left(x\right)+1$$.
Il en résulte donc que : $$f''\left(x\right)=-\frac{1}{x}$$
Comme $$x\in\left]0 ;10\right]$$ alors $$x>0$$ ce qui signifie que $$-\frac{1}{x}<0$$ et de ce fait $$f''\left(x\right)<0$$.
Il en résulte donc que la fonction $$f$$ est concave sur l'intervalle $$\left]0 ;10\right]$$ donc les tangentes sont situées au-dessus de la courbe et de ce fait la courbe $$C$$ est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes sur l’intervalle $$\left]0 ;10\right]$$

Soit $$f\left(x\right)=-x\ln x+2x+1$$ alors $$F\left(x\right)=-\frac{x^{2} }{2} \ln \left(x\right)+\frac{5}{4} x^{2} +x-7$$.
Il vient alors que :
$$I=\int _{1}^{2}f\left(x\right) dx$$ équivaut successivement à :
$$I=F\left(2\right)-F\left(1\right)$$
$$I=-\frac{2^{2} }{2} \ln \left(2\right)+\frac{5}{4} \times 2^{2} +2-7-\left(-\frac{1^{2} }{2} \ln \left(1\right)+\frac{5}{4} \times 1^{2} +1-7\right)$$
$$I=-2\ln \left(2\right)+5+2-7-\left(-\frac{1^{2} }{2} \times 0+\frac{5}{4} +1-7\right)$$
$$I=-2\ln \left(2\right)-\left(-\frac{19}{4} \right)$$
$$I=-2\ln \left(2\right)+\frac{19}{4}$$
Finalement :

Dans notre situation, nous avons donc :
$$m=\frac{1}{2-1} \int _{1}^{2}f\left(x\right) dx$$
Ainsi :
qui correspond à la valeur exacte.
qui correspond à un arrondi à $$10^{-2}$$ près.