Etudes de fonctions - Exercice 3

15 min
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Question 1
Une entreprise fabrique des protections pour téléphone. On a modélisé le bénéfice mensuel, en milliers d'euros, par la fonction BB définie sur l'intervalle [0,1;5]\left[0,1;5\right] par B(x)=3ln⁡(x)+5xB\left(x\right)=\frac{3\ln \left(x\right)+5}{x} où xx désigne le nombre de protections fabriquées et vendues, en milliers.

Calculer la dérivée, notée B′B', de la fonction BB.

Correction
BB est dérivable sur [0,1;5]\left[0,1;5\right].
Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=3ln⁡(x)+5u\left(x\right)=3\ln \left(x\right)+5 et v(x)=xv\left(x\right)=x.
Ainsi u′(x)=3xu'\left(x\right)=\frac{3}{x} et v′(x)=1v'\left(x\right)=1.
Il vient alors que :
B′(x)=3x×x−(3ln⁡(x)+5)×1x2B'\left(x\right)=\frac{\frac{3}{x} \times x-\left(3\ln \left(x\right)+5\right)\times1}{x^{2} } équivaut successivement à :
B′(x)=3−3ln⁡(x)−5x2B'\left(x\right)=\frac{3-3\ln \left(x\right)-5}{x^{2} }
B′(x)=−2−3ln⁡(x)x2B'\left(x\right)=\frac{-2-3\ln \left(x\right)}{x^{2} }
Question 2

Déterminer le tableau de variation complet de la fonction BB.

Correction
Il nous faut maintenant étudier le signe de B′(x)=−2−3ln⁡(x)x2B'\left(x\right)=\frac{-2-3\ln \left(x\right)}{x^{2} } .
Pour tout réel x∈[0,1;5]x\in\left[0,1;5\right], on vérifie aisément que x2>0x^{2}>0. Donc le signe de B′B' dépend de −2−3ln⁡(x)-2-3\ln \left(x\right).
Ainsi :
−2−3ln⁡(x)≥0-2-3\ln \left(x\right)\ge0 équivaut successivement à :
−3ln⁡(x)≥2-3\ln \left(x\right)\ge2
ln⁡(x)≤−23\ln \left(x\right)\le -\frac{2}{3}
x≤e−23x\le e^{-\frac{2}{3} }.
De plus :
B(0,1)=3ln⁡(0,1)+50,1B\left(0,1\right)=\frac{3\ln \left(0,1\right)+5}{0,1} d'où : B(0,1)=10×(3ln⁡(0,1)+5)B\left(0,1\right)=10\times\left(3\ln \left(0,1\right)+5\right)
B(e−23)=3ln⁡(e−23)+5e−23B\left(e^{-\frac{2}{3} }\right)=\frac{3\ln \left(e^{-\frac{2}{3} }\right)+5}{e^{-\frac{2}{3} }} d'où : B(e−23)=3×(−23)+5e−23B\left(e^{-\frac{2}{3} }\right)=\frac{3\times\left(-\frac{2}{3}\right)+5}{e^{-\frac{2}{3} }} et enfin B(e−23)=3e−23B\left(e^{-\frac{2}{3} }\right)=\frac{3}{e^{-\frac{2}{3} }}
B(5)=3ln⁡(5)+55B\left(5\right)=\frac{3\ln \left(5\right)+5}{5}
Nous allons maintenant dresser le tableau de variation de BB.
Question 3

En déduire pour quel nombre de protections fabriquées et vendues le bénéfice est maximal et la valeur de ce bénéfice maximale arrondie à l'euro près.

Correction
D'après le tableau de variation de la question précédente, que l'on redonne ci-dessous :

Le maximum est atteint en x=e−23x=e^{-\frac{2}{3} } et vaut 3e−23\frac{3}{e^{-\frac{2}{3} }}
Or :
e−23≈0,513e^{-\frac{2}{3} }\approx0,513
3e−23≈5,843\frac{3}{e^{-\frac{2}{3} }}\approx5,843.
Le bénéfice est maximal pour une production de 513513 protections et la valeur de ce bénéfice est de 58435843 euros.

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