Etudes de fonctions - Exercice 3

$$B$$ est dérivable sur $$\left[0,1;5\right]$$.
Ici on reconnaît la forme : $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=3\ln \left(x\right)+5$$ et $$v\left(x\right)=x$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=\frac{3}{x}$$ et $$v'\left(x\right)=1$$.
Il vient alors que :
$$B'\left(x\right)=\frac{\frac{3}{x} \times x-\left(3\ln \left(x\right)+5\right)\times1}{x^{2} }$$ équivaut successivement à :
$$B'\left(x\right)=\frac{3-3\ln \left(x\right)-5}{x^{2} }$$

Il nous faut maintenant étudier le signe de $$B'\left(x\right)=\frac{-2-3\ln \left(x\right)}{x^{2} }$$.
Pour tout réel $$x\in\left[0,1;5\right]$$, on vérifie aisément que $$x^{2}>0$$. Donc le signe de $$B'$$ dépend de $$-2-3\ln \left(x\right)$$.
Ainsi :
$$-2-3\ln \left(x\right)\ge0$$ équivaut successivement à :
$$-3\ln \left(x\right)\ge2$$
$$\ln \left(x\right)\le -\frac{2}{3}$$
$$x\le e^{-\frac{2}{3} }$$.
De plus :
$$B\left(0,1\right)=\frac{3\ln \left(0,1\right)+5}{0,1}$$ d'où : $$B\left(0,1\right)=10\times\left(3\ln \left(0,1\right)+5\right)$$
$$B\left(e^{-\frac{2}{3} }\right)=\frac{3\ln \left(e^{-\frac{2}{3} }\right)+5}{e^{-\frac{2}{3} }}$$ d'où : $$B\left(e^{-\frac{2}{3} }\right)=\frac{3\times\left(-\frac{2}{3}\right)+5}{e^{-\frac{2}{3} }}$$ et enfin $$B\left(e^{-\frac{2}{3} }\right)=\frac{3}{e^{-\frac{2}{3} }}$$
$$B\left(5\right)=\frac{3\ln \left(5\right)+5}{5}$$
Nous allons maintenant dresser le tableau de variation de $$B$$.

D'après le tableau de variation de la question précédente, que l'on redonne ci-dessous :

Le maximum est atteint en $$x=e^{-\frac{2}{3} }$$ et vaut $$\frac{3}{e^{-\frac{2}{3} }}$$
Or :
$$e^{-\frac{2}{3} }\approx0,513$$
$$\frac{3}{e^{-\frac{2}{3} }}\approx5,843$$.
Le bénéfice est maximal pour une production de $$513$$ protections et la valeur de ce bénéfice est de $$5843$$ euros.