Etudes de fonctions - Exercice 2

On reconnaît la forme : $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=2x$$ et $$v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=2$$ et $$v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$.
Il vient alors que : $$f'\left(x\right)=2\times \ln \left(x\right)+2x\times \frac{1}{x} \Leftrightarrow$$
De plus,
$$2\ln \left(x\right)+2\ge 0$$
$$\ln \left(x\right)\ge -\frac{2}{2}$$
$$\ln \left(x\right)\ge -1$$
$$\ln \left(x\right)\ge \ln \left(e^{-1} \right)$$
$$x\ge e^{-1}$$
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$2\ln \left(x\right)+2$$ dès que $$x\ge e^{-1}$$

De plus,
$$f\left(e^{-1} \right)=2\left(e^{-1} \right)\ln \left(e^{-1} \right)-3$$ donc $$f\left(e^{-1} \right)=-2e^{-1} -3$$
$$f\left(\frac{1}{10} \right)=2\left(\frac{1}{10} \right)\ln \left(\frac{1}{10} \right)-3$$
$$f\left(10\right)=20\ln \left(10\right)-3$$

• Sur $$\left[\frac{1}{10} ;e^{-1} \right]$$, la fonction $$f$$ est continue et admet $$2\left(\frac{1}{10} \right)\ln \left(\frac{1}{10} \right)-3$$ comme maximum.
  La fonction $$f$$ est strictement négative.
  Donc l'équation $$f\left(x\right)=0$$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
• Sur $$\left[e^{-1} ;10\right]$$, la fonction $$f$$ est continue et strictement croissante.
  De plus, $$f\left(e^{-1} \right)=-2e^{-1} -3$$et $$f\left(10\right)=20\ln \left(10\right)-3$$ .
  Or $$0\in \left[-2e^{-1} -3;20\ln \left(10\right)-3\right[$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$dans $$\left[\frac{1}{10} ;10\right]$$ tel que $$f\left(x\right)=0$$.

A la calculatrice, on vérifie que : $$f\left(2,06\right)\approx -0,022$$ et $$f\left(2,07\right)\approx 0,012$$ .
Or $$0\in \left]-0,022;0,012\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que :

Sur $$\left[\frac{1}{10} ;e^{-1} \right]$$, la fonction $$f$$ est continue et admet $$2\left(\frac{1}{10} \right)\ln \left(\frac{1}{10} \right)-3$$ comme maximum.
La fonction $$f$$ est strictement négative.

Sur $$\left[e^{-1} ;10\right]$$, la fonction $$f$$ est continue et strictement croissante et $$f\left(\alpha \right)=0$$.
Donc $$f\left(x\right)\le 0$$ pour tout $$x\in \left[\frac{1}{10} ;\alpha \right]$$ et $$f\left(x\right)\ge 0$$ pour tout $$x\in \left[\alpha ;10\right]$$.

On résume cela dans un tableau de signe :