Equation et inéquation - Exercice 6

On va débuter par développer l'expression $$P\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(ax^{2} +bx+c\right)$$
$$P\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(ax^{2} +bx+c\right)$$
$$P\left(x\right)=ax^{3} +bx^{2} +cx+2ax^{2} +2bx+2c$$
Ainsi : $$P\left(x\right)=ax^{3} +x^{2} \left(b+2a\right)+x\left(c+2b\right)+2c$$
Il faut que :
$$P\left(x\right)=ax^{3} +x^{2} \left(b+2a\right)+x\left(c+2b\right)+2c$$ soit égal à $$P\left(x\right)=2x^{3} -6x^{2} -12x+16$$.
Deux polynômes sont égaux si et seulement leurs coefficients respectifs sont égaux.
Par identification, on obtient le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b+2a} & {=} & {-6} \\ {c+2b} & {=} & {-12} \\ {2c} & {=} & {16} \end{array}\right.$$
Il en résulte que : $$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-10} \\ {b} & {=} & {-10} \\ {c} & {=} & {8} \end{array}\right.$$
Il vient alors que :

Il s'agit d'une équation produit nul.
$$P\left(x\right)=0\Leftrightarrow P\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(2x^{2} -10x+8\right)=0\Leftrightarrow x+2=0$$ ou $$2x^{2} -10x+8=0$$
D'une part : $$x+2=0\Leftrightarrow x=-2$$
D'autre part : $$2x^{2} -10x+8=0$$ on utilise ici le discriminant $$\Delta =36$$
$$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} =1$$ et $$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} =4$$
Les solutions de l'équation $$P\left(x\right)=0$$ sont alors :

$$P\left(x\right)\ge 0\Leftrightarrow \left(x+2\right)\left(2x^{2} -10x+8\right)\ge 0$$.
On va dresser le tableau de signe de cette inéquation :

Ainsi :

Simplifions puis résolvons cette inéquation.
$$2\ln \left(x\right)+\ln \left(2x-6\right)\ge \ln \left(2\right)+\ln \left(6x-8\right)$$
$$\ln \left(x^{2} \right)+\ln \left(2x-6\right)\ge \ln \left(2\times \left(6x-8\right)\right)$$
$$\ln \left(x^{2} \left(2x-6\right)\right)\ge \ln \left(12x-16\right)$$
Il vient alors que :
$$\ln \left(x^{2} \left(2x-6\right)\right)\ge \ln \left(12x-16\right)\Leftrightarrow x^{2} \left(2x-6\right)\ge 12x-16\Leftrightarrow$$
Le domaine de définition impose que $$x\in \left]3;+\infty \right[$$ et l'inéquation est vraie si $$x\in \left[-2;1\right]\cup \left[4;+\infty \right[$$.
On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :