Equation et inéquation - Exercice 6

20 min
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Pour tout réel xx, on pose P(x)=2x3−6x2−12x+16P\left(x\right)=2x^{3} -6x^{2} -12x+16
Question 1

Vérifier que P(−2)=0P\left(-2\right)=0

Correction
P(−2)=2(−2)3−6(−2)2−12(−2)+16P\left(-2\right)=2\left(-2\right)^{3} -6\left(-2\right)^{2} -12\left(-2\right)+16
P(−2)=−16−24+24+16P\left(-2\right)=-16-24+24+16
P(−2)=0P\left(-2\right)=0
Question 2

Déterminer les réels aa, bb et cc tels que : P(x)=(x+2)(ax2+bx+c)P\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(ax^{2} +bx+c\right)

Correction
On va débuter par développer l'expression P(x)=(x+2)(ax2+bx+c)P\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(ax^{2} +bx+c\right)
P(x)=(x+2)(ax2+bx+c)P\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(ax^{2} +bx+c\right)
P(x)=ax3+bx2+cx+2ax2+2bx+2cP\left(x\right)=ax^{3} +bx^{2} +cx+2ax^{2} +2bx+2c
Ainsi : P(x)=ax3+x2(b+2a)+x(c+2b)+2cP\left(x\right)=ax^{3} +x^{2} \left(b+2a\right)+x\left(c+2b\right)+2c
Il faut que :
P(x)=ax3+x2(b+2a)+x(c+2b)+2cP\left(x\right)=ax^{3} +x^{2} \left(b+2a\right)+x\left(c+2b\right)+2c soit égal à P(x)=2x3−6x2−12x+16P\left(x\right)=2x^{3} -6x^{2} -12x+16.
Deux polynômes sont égaux si et seulement leurs coefficients respectifs sont égaux.
Par identification, on obtient le système suivant :
{a=2b+2a=−6c+2b=−122c=16\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b+2a} & {=} & {-6} \\ {c+2b} & {=} & {-12} \\ {2c} & {=} & {16} \end{array}\right.
Il en résulte que : {a=2b=−10b=−10c=8\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-10} \\ {b} & {=} & {-10} \\ {c} & {=} & {8} \end{array}\right.
Il vient alors que :
P(x)=(x+2)(2x2−10x+8)P\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(2x^{2} -10x+8\right)
Question 3

Résoudre P(x)=0P\left(x\right)=0

Correction
Il s'agit d'une équation produit nul.
P(x)=0⇔P(x)=(x+2)(2x2−10x+8)=0⇔x+2=0P\left(x\right)=0\Leftrightarrow P\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(2x^{2} -10x+8\right)=0\Leftrightarrow x+2=0 ou 2x2−10x+8=02x^{2} -10x+8=0
D'une part : x+2=0⇔x=−2x+2=0\Leftrightarrow x=-2
D'autre part : 2x2−10x+8=02x^{2} -10x+8=0 on utilise ici le discriminant Δ=36\Delta =36
x1=−b−Δ2a=1x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} =1 et x2=−b+Δ2a=4x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} =4
Les solutions de l'équation P(x)=0P\left(x\right)=0 sont alors :
S={−2;1;4}S=\left\{-2;1;4\right\}
Question 4

Résoudre P(x)≥0P\left(x\right)\ge 0

Correction
P(x)≥0⇔(x+2)(2x2−10x+8)≥0P\left(x\right)\ge 0\Leftrightarrow \left(x+2\right)\left(2x^{2} -10x+8\right)\ge 0.
On va dresser le tableau de signe de cette inéquation :

Ainsi :
S=[−2;1]∪[4;+∞[S=\left[-2;1\right]\cup \left[4;+\infty \right[
Question 5

En s'aidant des questions précédentes, résoudre l'inéquation 2ln⁡(x)+ln⁡(2x−6)≥ln⁡(2)+ln⁡(6x−8)2\ln \left(x\right)+\ln \left(2x-6\right)\ge \ln \left(2\right)+\ln \left(6x-8\right) sur l'intervalle I=]3;+∞[I=\left]3;+\infty \right[

Correction
Simplifions puis résolvons cette inéquation.
2ln⁡(x)+ln⁡(2x−6)≥ln⁡(2)+ln⁡(6x−8)2\ln \left(x\right)+\ln \left(2x-6\right)\ge \ln \left(2\right)+\ln \left(6x-8\right)
ln⁡(x2)+ln⁡(2x−6)≥ln⁡(2×(6x−8))\ln \left(x^{2} \right)+\ln \left(2x-6\right)\ge \ln \left(2\times \left(6x-8\right)\right)
ln⁡(x2(2x−6))≥ln⁡(12x−16)\ln \left(x^{2} \left(2x-6\right)\right)\ge \ln \left(12x-16\right)
Il vient alors que :
ln⁡(x2(2x−6))≥ln⁡(12x−16)⇔x2(2x−6)≥12x−16⇔\ln \left(x^{2} \left(2x-6\right)\right)\ge \ln \left(12x-16\right)\Leftrightarrow x^{2} \left(2x-6\right)\ge 12x-16\Leftrightarrow
2x3−6x2−12x+16≥02x^{3} -6x^{2} -12x+16\ge 0

Le domaine de définition impose que x∈]3;+∞[x\in \left]3;+\infty \right[ et l'inéquation est vraie si x∈[−2;1]∪[4;+∞[x\in \left[-2;1\right]\cup \left[4;+\infty \right[.
On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :
S=[4;+∞[S=\left[4;+\infty \right[

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