Equation et inéquation - Exercice 5

Soit $$P_{0}$$ la production initiale et $$P_{n}$$ la production au bout de $$n$$ années.
Chaque année, la production augmente de 5%, on a donc un coefficient multiplicateur de $$1+\frac{5}{100} = 1,05$$ .
Autrement dit, chaque année la production est donc multipliée par $$1,05$$.

Ainsi, pour tout entier naturel $$n$$, on a : $$P_{n+1} =P_{n} \times 1,05$$.
On en déduit que $$\left(P_{n} \right)$$ est une suite géométrique de raison $$q=1,05$$ et de premier terme $$P_{0}$$
L'expression de $$P_{n}$$ en fonction de $$n$$ est alors $$P_{n} =P_{0} \times \left(1,05\right)^{n}$$
Pour déterminer au bout de combien d'années la production mondiale d'objets connectés aura doublé, on déterminer le plus petit entier naturel $$n$$ tel que :
$$P_{n} \ge 2P_{0}$$ équivaut successivement à :
$$P_{0} \times \left(1,05\right)^{n} \ge 2P_{0}$$ car $$P_{n} =P_{0} \times \left(1,05\right)^{n}$$
$$\left(1,05\right)^{n} \ge 2$$ (on a divisé par $$P_{0} >0$$ car c'est la production initiale)
$$\ln \left(\left(1,05\right)^{n} \right)\ge \ln \left(2\right)$$
$$n\ln \left(1,05\right)\ge \ln \left(2\right)$$ .
Or $$\ln \left(1,05\right)>0$$
D'où : $$n\ge \frac{\ln \left(2\right)}{\ln \left(1,05\right)}$$.
On cherche la valeur de $$\frac{\ln \left(2\right)}{\ln \left(1,05\right)}$$ à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
(à la calculatrice on obtient : $$\frac{\ln \left(2\right)}{\ln \left(1,05\right)} \approx 14,206$$ et on arrondi à l'entier supérieur)