La fonction logarithme

Equation et inéquation - Exercice 4

12 min
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Soit nn un entier naturel, résoudre les inéquations suivantes :
Question 1

2n≥20162^{n} \ge 2016

Correction
2n≥20162^{n} \ge 2016 équivaut successivement à :
ln⁡(2n)≥ln⁡(2016)\ln \left(2^{n} \right)\ge \ln \left(2016\right)
nln⁡(2)≥ln⁡(2016)n\ln \left(2\right)\ge \ln \left(2016\right)
Or : ln⁡(2)>0\ln \left(2\right)>0. D'où
n≥ln⁡(2016)ln⁡(2)n\ge \frac{\ln \left(2016\right)}{\ln \left(2\right)}
On cherche la valeur de ln⁡(2016)ln⁡(2)\frac{\ln \left(2016\right)}{\ln \left(2\right)} à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
n≥11n\ge 11
(à la calculatrice on obtient ln⁡(2016)ln⁡(2)≈10,977\frac{\ln \left(2016\right)}{\ln \left(2\right)} \approx 10,977 et on arrondi à l'entier supérieur)
Question 2

5n≥2195^{n} \ge 219

Correction
5n≥2195^{n} \ge 219 équivaut successivement à :
ln⁡(5n)≥ln⁡(219)\ln \left(5^{n} \right)\ge \ln \left(219\right)
nln⁡(5)≥ln⁡(219)n\ln \left(5\right)\ge \ln \left(219\right)
Or ln⁡(5)>0\ln \left(5\right)>0. D'où
n≥ln⁡(219)ln⁡(5)n\ge \frac{\ln \left(219\right)}{\ln \left(5\right)}
On cherche la valeur de ln⁡(219)ln⁡(5)\frac{\ln \left(219\right)}{\ln \left(5\right)} à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
n≥4n\ge 4
(à la calculatrice on obtient ln⁡(219)ln⁡(5)≈3,348\frac{\ln \left(219\right)}{\ln \left(5\right)} \approx 3,348 et on arrondi à l'entier supérieur)
Question 3

(0,4)n≤10−6\left(0,4\right)^{n} \le 10^{-6}

Correction
(0,4)n≤10−6\left(0,4\right)^{n} \le 10^{-6} équivaut successivement à :
ln⁡((0,4)n)≤ln⁡(10−6)\ln \left(\left(0,4\right)^{n} \right)\le \ln \left(10^{-6} \right)
nln⁡(0,4)≤ln⁡(10−6)n\ln \left(0,4\right)\le \ln \left(10^{-6} \right)
Or : ln⁡(0,4)<0\ln \left(0,4\right)<0.
D'où : n≥ln⁡(10−6)ln⁡(0,4)n\ge \frac{\ln \left(10^{-6} \right)}{\ln \left(0,4\right)} (on a changé le sens de l'inéquation car ln⁡(0,4)<0\ln \left(0,4\right)<0)
On cherche la valeur de ln⁡(10−6)ln⁡(0,4)\frac{\ln \left(10^{-6} \right)}{\ln \left(0,4\right)} à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
n≥16n\ge 16
(à la calculatrice on obtient ln⁡(10−6)ln⁡(0,4)≈15,077\frac{\ln \left(10^{-6} \right)}{\ln \left(0,4\right)} \approx 15,077 et on arrondi à l'entier supérieur)
Question 4

3×(2)n≥120003\times \left(2\right)^{n} \ge 12000

Correction
3×(2)n≥120003\times \left(2\right)^{n} \ge 12000 équivaut successivement à :
(2)n≥120003\left(2\right)^{n} \ge \frac{12000}{3}
(2)n≥4000\left(2\right)^{n} \ge 4000
ln⁡((2)n)≥ln⁡(4000)\ln \left(\left(2\right)^{n} \right)\ge \ln \left(4000\right)
nln⁡(2)≥ln⁡(4000)n\ln \left(2\right)\ge \ln \left(4000\right). Or ln⁡(2)>0\ln \left(2\right)>0
D'où : n≥ln⁡(4000)ln⁡(2)n\ge \frac{\ln \left(4000\right)}{\ln \left(2\right)} .
On cherche la valeur de ln⁡(4000)ln⁡(2)\frac{\ln \left(4000\right)}{\ln \left(2\right)} à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
n≥12n\ge 12
(à la calculatrice on obtient ln⁡(4000)ln⁡(2)≈11,965\frac{\ln \left(4000\right)}{\ln \left(2\right)} \approx 11,965 et on arrondi à l'entier supérieur)