Equation et inéquation - Exercice 3

$$\ln \left(x\right)>1$$ équivaut successivement à
$$\ln \left(x\right)>\ln \left(e\right)$$
$$x>e$$
Le domaine de définition impose que $$x>0$$ et l'inéquation est vraie si $$x>e$$.

On fait l'intersection des deux intervalles.
On garde la zone où les deux ensembles sont coloriés simultanément.
Ici c'est la zone à droite de la barre pointillée verticale.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :

$$\ln \left(-2x+2\right)\ge 0$$ équivaut successivement à :
$$\ln \left(-2x+2\right)\ge \ln \left(1\right)$$
$$-2x+2\ge 1$$
$$x\le \frac{1}{2}$$
Le domaine de définition impose que $$x\le 1$$ et l'inéquation est vraie si $$x\le \frac{1}{2}$$.
On fait l'intersection des deux intervalles.
On garde la zone où les deux ensembles sont coloriés simultanément.
Ici c'est la zone à gauche de la barre pointillée verticale.

Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :

$$\ln \left(-2x+2\right)\ge \ln \left(x+4\right)$$ équivaut successivement à :
$$-2x+2\ge x+4$$
$$x\le \frac{-2}{3}$$
Le domaine de définition impose que $$-4<x<-1$$ et l'inéquation est vraie si $$x\le \frac{-2}{3}$$.
On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :

$$\ln \left(x^{2} \right)<\ln \left(4x-3\right)$$ équivaut successivement à :
$$x^{2} <4x-3$$
$$x^{2} -4x+3\le 0$$
Pour résoudre l'inéquation $$x^{2} -4x+3\le 0$$, on utilise le discriminant.
$$\Delta =4$$ ; $$x_{1} =1$$ et $$x_{2} =3$$
L'inéquation $$x^{2} -4x+3\le 0$$ est vraie si $$x\in \left[1;3\right]$$.
Le domaine de définition impose que $$x\in \left]\frac{3}{4} ;+\infty \right[$$ et l'inéquation est vraie si $$x\in \left[1;3\right]$$.
On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :

$$\ln \left(-2x+2\right)+\ln \left(2x\right)\le \ln \left(x\right)$$ équivaut successivement à :
$$\ln \left(2x\times \left(-2x+2\right)\right)\le \ln \left(x\right)$$
$$-4x^{2} +4x\le x$$
$$-4x^{2} +3x\le 0$$
Pour résoudre l'inéquation $$-4x^{2} +3x\le 0$$, on utilise le discriminant.
$$\Delta =16$$ ; $$x_{1} =0$$ et $$x_{2} =\frac{3}{4}$$
L'inéquation $$-4x^{2} +3x\le 0$$ est vraie si $$x\in \left]-\infty ;0\right]\cup \left[\frac{3}{4} ;+\infty \right[$$.
Le domaine de définition impose que $$x\in \left]0;1\right[$$ et l'inéquation est vraie si $$x\in \left]-\infty ;0\right]\cup \left[\frac{3}{4} ;+\infty \right[$$
On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation $$\ln \left(-2x+2\right)+\ln \left(2x\right)\le \ln \left(x\right)$$ sont sur l'intervalle :

$$2\ln \left(x\right)+\ln \left(3\right)\ge \ln \left(x^{2} +3\right)$$ équivaut successivement à :
$$\ln \left(x^{2} \right)+\ln \left(3\right)\ge \ln \left(x^{2} +3\right)$$
$$3x^{2} \ge x^{2} +3$$
$$2x^{2} -3\ge 0$$
Pour résoudre l'inéquation $$2x^{2} -3\ge 0$$, on utilise le discriminant.
$$\Delta =24$$ ; $$x_{1} =-\frac{\sqrt{6} }{2}$$ et $$x_{2} =\frac{\sqrt{6} }{2}$$
L'inéquation $$2x^{2} -3\ge 0$$ est vraie si $$x\in \left]-\infty ;\frac{-\sqrt{6} }{2} \right]\cup \left[\frac{\sqrt{6} }{2} ;+\infty \right[$$.
Le domaine de définition impose que $$x\in \left]0;+\infty \right[$$ et l'inéquation est vraie si $$x\in \left]-\infty ;\frac{-\sqrt{6} }{2} \right]\cup \left[\frac{\sqrt{6} }{2} ;+\infty \right[$$
On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation $$2\ln \left(x\right)+\ln \left(3\right)\ge \ln \left(x^{2} +3\right)$$ sont sur l'intervalle :