La fonction logarithme

Equation et inéquation - Exercice 2

15 min
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Pour chaque question, résoudre l'équation sur l'intervalle II considéré.
ln⁡(A)=ln⁡(B)⇔A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
Question 1

ln⁡(4x−2)=0\ln \left(4x-2\right)=0 ; I=]12;+∞[I =\left]\frac{1}{2} ;+\infty \right[

Correction
ln⁡(4x−2)=0\ln \left(4x-2\right)=0 équivaut successivement à :
ln⁡(4x−2)=ln⁡(1)\ln \left(4x-2\right)=\ln \left(1\right) car ln⁡(1)=0\ln \left(1\right)=0
4x−2=14x-2=1
x=34x=\frac{3}{4}
Or 34∈]12;+∞[\frac{3}{4} \in \left]\frac{1}{2} ;+\infty \right[, donc la solution de l'équation est :
S={34}S=\left\{\frac{3}{4} \right\}
Question 2

ln⁡(x+3)=1\ln \left(x+3\right)=1 ; I=]−3;+∞[I =\left]-3;+\infty \right[

Correction
ln⁡(x+3)=1\ln \left(x+3\right)=1 équivaut successivement à :
ln⁡(x+3)=ln⁡(e)\ln \left(x+3\right)=\ln \left(e\right) car ln⁡(e)=1\ln \left(e\right)=1
x+3=ex+3=e
x=e−3x=e-3
Or (e−3)∈]−3;+∞[\left(e-3\right)\in \left]-3;+\infty \right[, donc la solution de l'équation est :
S={e−3}S=\left\{e-3\right\}
Question 3

2ln⁡(−x+7)=−62\ln \left(-x+7\right)=-6 ; I=]−∞;7[I =\left]-\infty ;7\right[

Correction
a=ln⁡(ea)a=\ln \left(e^{a} \right)
2ln⁡(−x+7)=−62\ln \left(-x+7\right)=-6 équivaut successivement à :
ln⁡(−x+7)=−3\ln \left(-x+7\right)=-3
ln⁡(−x+7)=ln⁡(e−3)\ln \left(-x+7\right)=\ln \left(e^{-3} \right)
−x+7=e−3-x+7=e^{-3}
x=7−e−3x=7-e^{-3}
Or (7−e−3)∈]−∞;7[\left(7-e^{-3} \right)\in \left]-\infty ;7\right[, donc la solution de l'équation est :
S={7−e−3}S=\left\{7-e^{-3} \right\}
Question 4

ln⁡(x+3)=ln⁡(2x+10)\ln \left(x+3\right)=\ln \left(2x+10\right) ; I=]−3;+∞[I =\left]-3;+\infty \right[

Correction
ln⁡(x+3)=ln⁡(2x+10)\ln \left(x+3\right)=\ln \left(2x+10\right) équivaut successivement à :
x+3=2x+10x+3=2x+10
x=−7x=-7
Or −7∉]−3;+∞[-7\notin \left]-3;+\infty \right[, donc il n'y a pas de solution à l'équation.
On écrit alors : S=∅S=\varnothing
Question 5

ln⁡(−x+5)=ln⁡(2x+10)\ln \left(-x+5\right)=\ln \left(2x+10\right) ; I=]−5;5[I =\left]-5;5\right[

Correction
ln⁡(−x+5)=ln⁡(2x+10)\ln \left(-x+5\right)=\ln \left(2x+10\right) équivaut successivement à :
−x+5=2x+10-x+5=2x+10
−x−2x=−5+10-x-2x=-5+10
−3x=5-3x=5
x=−53x=\frac{-5}{3}
Or −53∈]−5;5[\frac{-5}{3} \in \left]-5;5\right[, donc la solution de l'équation est :
S={−53}S=\left\{\frac{-5}{3} \right\}
Question 6

ln⁡(x)+ln⁡(x+1)=0\ln \left(x\right)+\ln \left(x+1\right)=0 ; I=]0;+∞[I =\left]0;+\infty \right[

Correction
  • ln⁡(a)+ln⁡(b)=ln⁡(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
ln⁡(x)+ln⁡(x+1)=0\ln \left(x\right)+\ln \left(x+1\right)=0 équivaut successivement à :
ln⁡(x(x+1))=0\ln \left(x\left(x+1\right)\right)=0
ln⁡(x(x+1))=ln⁡1\ln \left(x\left(x+1\right)\right)=\ln 1
x(x+1)=1x\left(x+1\right)=1
x2+x−1=0x^{2} +x-1=0.
C'est une équation du second degré.
On utilise le discriminant :
On donne directement les résultats : Δ=5\Delta =5 et il y a deux racines réelles : x1=−1−52x_{1} =\frac{-1-\sqrt{5} }{2} et x2=−1+52x_{2} =\frac{-1+\sqrt{5} }{2}
Or : −1−52∉]0;+∞[\frac{-1-\sqrt{5} }{2} \notin \left]0;+\infty \right[ et −1+52∈]0;+∞[\frac{-1+\sqrt{5} }{2} \in \left]0;+\infty \right[ donc il y a une solution à l'équation.
On écrit alors :
S=−1+52S=\frac{-1+\sqrt{5} }{2}
Question 7

ln⁡(2x+2)+ln⁡(2x)=ln⁡(5)+ln⁡(x)\ln \left(2x+2\right)+\ln \left(2x\right)=\ln \left(5\right)+\ln \left(x\right) ; I=]0;+∞[I =\left]0;+\infty \right[

Correction
  • ln⁡(a)+ln⁡(b)=ln⁡(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
ln⁡(2x+2)+ln⁡(2x)=ln⁡(5)+ln⁡(x)\ln \left(2x+2\right)+\ln \left(2x\right)=\ln \left(5\right)+\ln \left(x\right)
ln⁡(2x×(2x+2))=ln⁡(5x)\ln \left(2x\times \left(2x+2\right)\right)=\ln \left(5x\right)
4x2+4x=5x4x^{2} +4x=5x
On obtient enfin :
4x2−x=04x^{2} -x=0
.
On utilise le discriminant : Δ=1\Delta = 1 ; x1=0x_{1} =0 et x2=14x_{2} =\frac{1}{4}
D'une part : 0∉]0;+∞[0\notin \left]0;+\infty \right[ et d'autre part : 14∈]0;+∞[\frac{1}{4} \in \left]0;+\infty \right[
Finalement, l'unique solution à l'équation ln⁡(2x+2)+ln⁡(2x)=ln⁡(5)+ln⁡(x)\ln \left(2x+2\right)+\ln \left(2x\right)=\ln \left(5\right)+\ln \left(x\right) est :
S={14}S=\left\{\frac{1}{4} \right\}