Equation et inéquation - Exercice 1

$$\ln x=0$$ équivaut successivement à :
$$\ln x=\ln \left(1\right)$$ car $$\ln \left(1\right)=0$$
$$x=1$$
Or $$1\in \left]0;+\infty \right[$$, donc la solution de l'équation est :

$$\ln x=5$$ équivaut successivement à :
$$\ln x=\ln \left(e^{5} \right)$$ car $$\ln \left(e^{a} \right)=a$$
$$x=e^{5}$$
Or $$e^{5} \in \left]0;+\infty \right[$$, donc la solution de l'équation est :

$$2\ln x+4=0$$ équivaut successivement à :
$$2\ln x=-4$$
$$\ln x=-2$$
$$\ln x=\ln \left(e^{-2} \right)$$ car $$\ln \left(e^{a} \right)=a$$
$$x=e^{-2}$$
Or $$e^{-2} \in \left]0;+\infty \right[$$, donc la solution de l'équation est :

$$4\ln \left(x\right)-7=0$$ équivaut successivement à :
$$4\ln \left(x\right)=7$$
$$\ln \left(x\right)=\frac{7}{4}$$
$$\ln \left(x\right)=\ln e^{\frac{7}{4} }$$ car $$\ln \left(e^{a} \right)=a$$
$$x=e^{\frac{7}{4} }$$
Or $$e^{\frac{7}{4} } \in \left]0;+\infty \right[$$, donc la solution de l'équation est :

Il s'agit ici d'une équation produit nul.
Ainsi :
$$\left(-\ln x-8\right)\ln x=0$$
Il faut que : $$-\ln x-8=0$$ ou $$\ln x=0$$
Résolvons d'une part :
$$-\ln x-8=0$$ équivaut successivement à :
$$\ln x=-8$$
$$\ln x=\ln \left(e^{-8} \right)$$ car $$\ln \left(e^{a} \right)=a$$
$$x=e^{-8}$$ .
Or $$e^{-8} \in \left]0;+\infty \right[$$
Résolvons d'autre part :
$$\ln x=0$$ équivaut successivement à :
$$\ln x=\ln \left(1\right)$$ car $$\ln \left(1\right)=0$$
$$x=1$$
Or $$1\in \left]0;+\infty \right[$$
Finalement les solutions de l'équation $$\left(-\ln x-8\right)\ln x=0$$ sont :

$$5\ln x+2=2\ln x-10$$ équivaut successivement à :
$$5\ln x-2\ln x=-10-2$$
$$3\ln x=-12$$
$$\ln x=-4$$
$$\ln x=\ln \left(e^{-4} \right)$$ car $$\ln \left(e^{a} \right)=a$$
$$x=e^{-4}$$
Or $$e^{-4} \in \left]0;+\infty \right[$$, donc la solution de l'équation est :