Equation et inéquation - Exercice 1

12 min
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Pour chaque question, résoudre l'équation sur l'intervalle II considéré.
ln⁡(A)=ln⁡(B)⇔A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B et ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
Question 1

ln⁡x=0\ln x=0 ; I=]0;+∞[I =\left]0;+\infty \right[

Correction
ln⁡x=0\ln x=0 équivaut successivement à :
ln⁡x=ln⁡(1)\ln x=\ln \left(1\right) car ln⁡(1)=0\ln \left(1\right)=0
x=1x=1
Or 1∈]0;+∞[1\in \left]0;+\infty \right[, donc la solution de l'équation est :
S={1}S=\left\{1\right\}
Question 2

ln⁡x=5\ln x=5 ; I=]0;+∞[I =\left]0;+\infty \right[

Correction
ln⁡x=5\ln x=5 équivaut successivement à :
ln⁡x=ln⁡(e5)\ln x=\ln \left(e^{5} \right) car ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
x=e5x=e^{5}
Or e5∈]0;+∞[e^{5} \in \left]0;+\infty \right[, donc la solution de l'équation est :
S={e5}S=\left\{e^{5} \right\}
Question 3

2ln⁡x+4=02\ln x+4=0 ; I=]0;+∞[I =\left]0;+\infty \right[

Correction
2ln⁡x+4=02\ln x+4=0 équivaut successivement à :
2ln⁡x=−42\ln x=-4
ln⁡x=−2\ln x=-2
ln⁡x=ln⁡(e−2)\ln x=\ln \left(e^{-2} \right) car ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
x=e−2x=e^{-2}
Or e−2∈]0;+∞[e^{-2} \in \left]0;+\infty \right[, donc la solution de l'équation est :
S={e−2}S=\left\{e^{-2} \right\}
Question 4

4ln⁡(x)−7=04\ln \left(x\right)-7=0 ; I=]0;+∞[I =\left]0;+\infty \right[

Correction
4ln⁡(x)−7=04\ln \left(x\right)-7=0 équivaut successivement à :
4ln⁡(x)=74\ln \left(x\right)=7
ln⁡(x)=74\ln \left(x\right)=\frac{7}{4}
ln⁡(x)=ln⁡e74\ln \left(x\right)=\ln e^{\frac{7}{4} } car ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
x=e74x=e^{\frac{7}{4} }
Or e74∈]0;+∞[e^{\frac{7}{4} } \in \left]0;+\infty \right[, donc la solution de l'équation est :
S={e74}S=\left\{e^{\frac{7}{4} }\right\}
Question 5

(−ln⁡x−8)ln⁡x=0\left(-\ln x-8\right)\ln x=0 ; I=]0;+∞[I =\left]0;+\infty \right[

Correction
Il s'agit ici d'une équation produit nul.
Ainsi :
(−ln⁡x−8)ln⁡x=0\left(-\ln x-8\right)\ln x=0
Il faut que : −ln⁡x−8=0-\ln x-8=0 ou ln⁡x=0\ln x=0
Résolvons d'une part :
−ln⁡x−8=0-\ln x-8=0 équivaut successivement à :
ln⁡x=−8\ln x=-8
ln⁡x=ln⁡(e−8)\ln x=\ln \left(e^{-8} \right) car ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
x=e−8x=e^{-8} .
Or e−8∈]0;+∞[e^{-8} \in \left]0;+\infty \right[
Résolvons d'autre part :
ln⁡x=0\ln x=0 équivaut successivement à :
ln⁡x=ln⁡(1)\ln x=\ln \left(1\right) car ln⁡(1)=0\ln \left(1\right)=0
x=1x=1
Or 1∈]0;+∞[1\in \left]0;+\infty \right[
Finalement les solutions de l'équation (−ln⁡x−8)ln⁡x=0\left(-\ln x-8\right)\ln x=0 sont :
S={1;e−8}S=\left\{1;e^{-8} \right\}
Question 6

5ln⁡x+2=2ln⁡x−105\ln x+2=2\ln x-10 ; I=]0;+∞[I =\left]0;+\infty \right[

Correction
5ln⁡x+2=2ln⁡x−105\ln x+2=2\ln x-10 équivaut successivement à :
5ln⁡x−2ln⁡x=−10−25\ln x-2\ln x=-10-2
3ln⁡x=−123\ln x=-12
ln⁡x=−4\ln x=-4
ln⁡x=ln⁡(e−4)\ln x=\ln \left(e^{-4} \right) car ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
x=e−4x=e^{-4}
Or e−4∈]0;+∞[e^{-4} \in \left]0;+\infty \right[, donc la solution de l'équation est :
S={e−4}S=\left\{e^{-4} \right\}

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