La fonction logarithme

Dérivées - Exercice 2

10 min
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Question 1

f(x)=ln⁡(x)x−ln⁡(x)f\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{x-\ln \left(x\right)} . On suppose que ff est dérivable sur un intervalle II que l'on ne cherchera pas à démontrer.

Correction
Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=ln⁡(x)u\left(x\right)=\ln \left(x\right) et v(x)=x−ln⁡(x)v\left(x\right)=x-\ln \left(x\right).
Ainsi : u′(x)=1xu'\left(x\right)=\frac{1}{x} et v′(x)=1−1xv'\left(x\right)=1-\frac{1}{x} .
Il vient alors que :
f′(x)=1x×(x−ln⁡(x))−ln⁡(x)×(1−1x)(x−ln⁡(x))2f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x} \times \left(x-\ln \left(x\right)\right)-\ln \left(x\right)\times \left(1-\frac{1}{x} \right)}{\left(x-\ln \left(x\right)\right)^{2} }
f′(x)=1x×x+1x×(−ln⁡(x))−ln⁡(x)−ln⁡(x)×(−1x)(x−ln⁡(x))2f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x} \times x+\frac{1}{x} \times \left(-\ln \left(x\right)\right)-\ln \left(x\right)-\ln \left(x\right)\times \left(-\frac{1}{x} \right)}{\left(x-\ln \left(x\right)\right)^{2} }
f′(x)=xx−1x×ln⁡(x)−ln⁡(x)+ln⁡(x)×1x(x−ln⁡(x))2f'\left(x\right)=\frac{\frac{x}{x} -\frac{1}{x} \times \ln \left(x\right)-\ln \left(x\right)+\ln \left(x\right)\times \frac{1}{x} }{\left(x-\ln \left(x\right)\right)^{2} }
f′(x)=1−1x×ln⁡(x)−ln⁡(x)+ln⁡(x)×1x(x−ln⁡(x))2f'\left(x\right)=\frac{1-\frac{1}{x} \times \ln \left(x\right)-\ln \left(x\right)+\ln \left(x\right)\times \frac{1}{x} }{\left(x-\ln \left(x\right)\right)^{2} }

Ainsi :
f′(x)=1−ln⁡(x)(x−ln⁡(x))2f'\left(x\right)=\frac{1-\ln \left(x\right)}{\left(x-\ln \left(x\right)\right)^{2} }