La fonction logarithme

Calculs de primitives - Exercice 4

7 min
20
Question 1
Soit FF la fonction définie sur [1;e]\left[1;e\right] par f(t)=t3[3ln⁡(t)−1]f\left(t\right)=t^{3} \left[3\ln \left(t\right)-1\right] .
Soit ff la fonction définie sur [1;e]\left[1;e\right] par f(t)=9t2ln⁡(t)f\left(t\right)=9t^{2} \ln \left(t\right) .

Montrer que la fonction FF définie sur [1;e]\left[1;e\right] est une primitive de ff sur [1;e]\left[1;e\right] .

Correction
On reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(t)=t3u\left(t\right)=t^{3} et v(t)=3ln⁡(t)−1v\left(t\right)=3\ln \left(t\right)-1 .
Ainsi : u′(t)=3t2u'\left(t\right)=3t^{2} et v′(t)=3tv'\left(t\right)=\frac{3}{t} .
Il vient alors que :
F′(t)=3t2×[3ln⁡(t)−1]+t3×(3t)F'\left(t\right)=3t^{2} \times \left[3\ln \left(t\right)-1\right]+t^{3} \times \left(\frac{3}{t} \right)
F′(t)=3t2×(3ln⁡(t))+3t2×(−1)+3t3tF'\left(t\right)=3t^{2} \times \left(3\ln \left(t\right)\right)+3t^{2} \times \left(-1\right)+\frac{3t^{3} }{t}
F′(t)=9t2ln⁡(t)−3t2+3t2F'\left(t\right)=9t^{2} \ln \left(t\right)-3t^{2} +3t^{2}
F′(t)=9t2ln⁡(t)F'\left(t\right)=9t^{2} \ln \left(t\right)
Ainsi :
F′(t)=f(t)F'\left(t\right)=f\left(t\right)

Question 2

Calculer la valeur exacte de I=∫1e9t2ln⁡(t)dtI=\int _{1}^{e}9t^{2} \ln \left(t\right) dt

Correction
Dans le cas où une primitive FF est donnée, il vous suffit de dériver FF et d'obtenir comme résultat ff.
Autrement dit, il faut que : F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)
I=∫1e9t2ln⁡(t)dtI=\int _{1}^{e}9t^{2} \ln \left(t\right) dt équivaut successivement à :
I=F(e)−F(1)I=F\left(e\right)-F\left(1\right)
I=e3×(3ln⁡(e)−1)−[13×(3ln⁡(1)−1)]I=e^{3} \times \left(3\ln \left(e\right)-1\right)-\left[1^{3} \times \left(3\ln \left(1\right)-1\right)\right]
I=e3×(3−1)−[13×(0−1)]I=e^{3} \times \left(3-1\right)-\left[1^{3} \times \left(0-1\right)\right]
I=2e3−(−1)I=2e^{3} -\left(-1\right)
I=2e3+1I=2e^{3} +1