La fonction logarithme

Calculs de primitives - Exercice 3

6 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [1;5]\left[1;5\right] par f(x)=x(2ln⁡(x)−1)f\left(x\right)=x\left(2\ln \left(x\right)-1\right) .

Montrer que la fonction FF définie sur [1;5]\left[1;5\right] par F(x)=x2ln⁡(x)−x2F\left(x\right)=x^{2} \ln \left(x\right)-x^{2} est une primitive de ff sur [1;5]\left[1;5\right].

Correction
Dans le cas où une primitive FF est donnée, il vous suffit de dériver FF et d'obtenir comme résultat ff.
Autrement dit, il faut que : F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)
Ici on reconnaît la forme : (uv+w)′=u′v+uv′+w′\left(uv+w\right)'=u'v+uv'+w' avec u(x)=x2u\left(x\right)=x^{2} ; v(x)=ln⁡(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right) et w(x)=−x2w\left(x\right)=-x^{2}.
Ainsi : u′(x)=2xu'\left(x\right)=2x ; v′(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} et w′(x)=−2xw'\left(x\right)=-2x.
Il vient alors que :
F′(x)=2xln⁡(x)+x2×1x−2xF'\left(x\right)=2x\ln \left(x\right)+x^{2} \times \frac{1}{x} -2x
F′(x)=2xln⁡(x)+x2x−2xF'\left(x\right)=2x\ln \left(x\right)+\frac{x^{2} }{x} -2x
F′(x)=2xln⁡(x)+x−2xF'\left(x\right)=2x\ln \left(x\right)+x-2x
F′(x)=2xln⁡(x)−xF'\left(x\right)=2{\color{blue}x}\ln \left(x\right)-{\color{blue}x} . On factorise par x{\color{blue}x} .
F′(x)=x(2ln⁡(x)−1)F'\left(x\right)=x\left(2\ln \left(x\right)-1\right)
Ainsi :
F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)

On a bien montré que FF est une primitive de ff sur [1;5]\left[1;5\right].