La fonction logarithme

Calculs de primitives - Exercice 2

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Question 1
Soit ff la fonction définie pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [2;8]\left[2;8\right] par f(x)=3ln⁡(x)+3+4xf\left(x\right)=3\ln \left(x\right)+3+\frac{4}{x} .

Montrer que la fonction FF définie sur [2;8]\left[2;8\right] par F(x)=(3x+4)ln⁡(x)F\left(x\right)=\left(3x+4\right)\ln \left(x\right) est une primitive de ff sur [2;8]\left[2;8\right].

Correction
Dans le cas où une primitive FF est donnée, il vous suffit de dériver FF et d'obtenir comme résultat ff.
Autrement dit, il faut que : F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)
Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=3x+4u\left(x\right)=3x+4 et v(x)=ln⁡(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right).
Ainsi : u′(x)=3u'\left(x\right)=3 et v′(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} .
Il vient alors que :
F′(x)=3ln⁡(x)+(3x+4)×1xF'\left(x\right)=3\ln \left(x\right)+\left(3x+4\right)\times \frac{1}{x}
F′(x)=3ln⁡(x)+3x×1x+4×1xF'\left(x\right)=3\ln \left(x\right)+3x\times \frac{1}{x} +4\times \frac{1}{x}
F′(x)=3ln⁡(x)+3xx+4xF'\left(x\right)=3\ln \left(x\right)+\frac{3x}{x} +\frac{4}{x}
F′(x)=3ln⁡(x)+3+4xF'\left(x\right)=3\ln \left(x\right)+3+\frac{4}{x}
Ainsi :
F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)

On a bien montré que FF est une primitive de ff sur [2;8]\left[2;8\right].