Petits problèmes... - Exercice 4

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Question 1
On considère la fonction gg définie sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[ par g(x)=2ex−x−2g\left(x\right)=2e^{x} -x-2

Étudier le sens de variation de gg, puis dresser son tableau de variation.

Correction
gg est dérivable sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[ .
On a :
g′(x)=2ex−1g'\left(x\right)=2e^{x} -1

Résolvons l'inéquation :
2ex−1≥02e^{x} -1 \ge 0 équivaut successivement à :
2ex≥12e^{x} \ge 1
ex≥12e^{x} \ge \frac{1}{2}
ex≥eln⁡(12)e^{x} \ge e^{\ln \left(\frac{1}{2} \right)}
x≥ln⁡(12)x \ge \ln \left(\frac{1}{2} \right)
Cela signifie que 2ex−1≥02e^{x} -1 \ge 0 lorsque x≥ln⁡(12)x \ge \ln \left(\frac{1}{2} \right). Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ainsi :
g(ln⁡(12))=2eln⁡(12)−ln⁡(12)−2g\left(\ln \left(\frac{1}{2} \right)\right)=2e^{\ln \left(\frac{1}{2} \right)} -\ln \left(\frac{1}{2} \right)-2 ainsi g(ln⁡(12))=2×12−ln⁡(12)−2g\left(\ln \left(\frac{1}{2} \right)\right)=2\times\frac{1}{2} -\ln \left(\frac{1}{2} \right)-2
d'où
g(ln⁡(12))=−ln⁡(12)−1g\left(\ln \left(\frac{1}{2} \right)\right)=-\ln \left(\frac{1}{2} \right)-1

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