Petits problèmes... - Exercice 4

$$g$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$ .
On a :
Résolvons l'inéquation :
$$2e^{x} -1 \ge 0$$ équivaut successivement à :
$$2e^{x} \ge 1$$
$$e^{x} \ge \frac{1}{2}$$
$$e^{x} \ge e^{\ln \left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x \ge \ln \left(\frac{1}{2} \right)$$
Cela signifie que $$2e^{x} -1 \ge 0$$ lorsque $$x \ge \ln \left(\frac{1}{2} \right)$$. Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ainsi :
$$g\left(\ln \left(\frac{1}{2} \right)\right)=2e^{\ln \left(\frac{1}{2} \right)} -\ln \left(\frac{1}{2} \right)-2$$ ainsi $$g\left(\ln \left(\frac{1}{2} \right)\right)=2\times\frac{1}{2} -\ln \left(\frac{1}{2} \right)-2$$
d'où