Petits problèmes... - Exercice 2

• Avec l'information « la courbe $$\left(C\right)$$ passe par l'origine $$O$$ », on en déduit que :
  $$f\left(0\right)=0$$
• Avec l'information « la tangente à la courbe $$\left(C\right)$$ en $$O$$ a pour coefficient directeur $$3$$ », on en déduit que :
  $$f'\left(0\right)=3$$

Commençons par calculer la dérivée de la fonction $$f$$.
Il vient alors que : $$f'\left(x\right)=2e^{x} +a$$.
Ainsi :
$$f\left(0\right)=0\Leftrightarrow 2e^{0} +a\times 0+b=0\Leftrightarrow 2+b=0\Leftrightarrow$$
$$f'\left(0\right)=3\Leftrightarrow 2e^{0} +a=3\Leftrightarrow 2+a=3\Leftrightarrow$$
On peut conclure que : $$f\left(x\right)=2e^{x} +ax+b$$ s'écrit $$f\left(x\right)=2e^{x} +x-2$$.

La formule de l'équation de la tangente au point d'abscisse $$a$$ est donnée par :
$$y=g'\left(a\right)\left(x-a\right)+g\left(a\right)$$.
Dans cette exercice, $$a=0$$.
On a alors : $$y=g'\left(0\right)\left(x-0\right)+g\left(0\right)$$
$$g\left(0\right)=2e^{0} +0-2\Leftrightarrow g\left(0\right)=0.$$
Comme $$g\left(x\right)=2e^{x} +x-2$$ alors $$g'\left(x\right)=2e^{x} +1$$ donc $$g'\left(0\right)=2e^{0} +1\Leftrightarrow g'\left(0\right)=3$$
Ainsi : $$y=3\left(x-0\right)+0\Leftrightarrow$$