Petits problèmes... - Exercice 1

$$g\left(x\right)=\left(-x+1\right)e^{2x} +3$$
Ici on reconnait la forme : $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=-x+1$$ et $$v\left(x\right)=e^{2x}$$
On note $$w\left(x\right)=3$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-1$$ et $$v'\left(x\right)=2e^{2x}$$, enfin $$w'\left(x\right)=0$$
Il vient alors que :
$$g'\left(x\right)=-e^{2x} +\left(-x+1\right)\left(2e^{2x} \right)$$
$$g'\left(x\right)=-e^{2x} +\left(-x\right)\times \left(2e^{2x} \right)+1\times \left(2e^{2x} \right)$$
$$g'\left(x\right)=-e^{2x} -2xe^{2x} +2e^{2x}$$
$$g'\left(x\right)=-2xe^{2x} +e^{2x}$$
Ainsi :
Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{2x} >0$$. Le signe de $$g'$$ dépend donc de $$-2x+1$$ .
$$-2x+1\ge 0$$
$$-2x\ge -1$$
$$x\le \frac{-1}{-2}$$
$$x\le \frac{1}{2} .$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-2x+1$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$\frac{1}{2}$$.
De plus :
$$g\left(\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2} e+3$$
$$g\left(-10\right)=\left(10+1\right)e^{-20} +3$$ donc : $$g\left(-10\right)=11e^{-20} +3$$
$$g\left(10\right)=\left(-10+1\right)e^{20} +3$$ donc : $$g\left(10\right)=-9e^{20} +3$$
On en déduit le tableau de variation suivant :

• Sur $$\left[-10;\frac{1}{2} \right]$$, la fonction $$g$$ est continue et admet $$11e^{-20} +3>0$$ comme minimum.
  La fonction $$g$$ est strictement positive.
  Donc l'équation $$g\left(x\right)=0$$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
• Sur $$\left[\frac{1}{2} ;10\right]$$, la fonction $$g$$ est continue et strictement décroissante.
  De plus, $$g\left(\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2} e+3$$ et $$g\left(10\right)=-9e^{20} +3$$ .
  Or $$0\in \left[-9e^{20} +3;\frac{1}{2} e+3\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ dans $$\left[-10;10\right]$$ tel que $$g\left(x\right)=0$$.

A la calculatrice, on vérifie que :
$$g\left(1,24\right)\approx 0,134$$ et $$g\left(1,25\right)\approx -0,045$$ . Or $$0\in \left]-0,045;0,134\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que :

Sur $$\left[-10;\frac{1}{2} \right]$$, la fonction $$g$$ est continue et admet $$11e^{-20} +3>0$$ comme minimum.
La fonction $$g$$ est strictement positive.

Sur $$\left[\frac{1}{2} ;10\right]$$, la fonction $$g$$ est continue et strictement décroissante et $$g\left(\alpha \right)=0$$.

Donc $$g\left(x\right)\ge 0$$ pour tout $$x\in \left[-10;\alpha \right]$$ et $$g\left(x\right)\le 0$$ pour tout $$x\in \left[\alpha ;10\right]$$.
On résume cela dans un tableau de signe :