Exercices types : $$3$$^ème partie - Exercice 2

D'après l'énoncé, le point $$A$$ de coordonnées $$\left(0;3\right)$$ est l’unique point d’inflexion de la courbe $$\mathscr{C}$$ sur l’intervalle $$\left[-2;6\right]$$. Cela signifie donc que le point $$A$$ appartient à la courbe $$\mathscr{C}$$. Il en résulte donc que :
.

$$f'\left(0\right)$$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $$0$$ donc au point $$A$$. Les coordonnées du point $$A$$ sont $$A\left(0;3\right)$$
De plus, le point $$\left(4;-1\right)$$ appartient à cette tangente. Nous allons appelé ce point $$D\left(4;-1\right)$$
A l'aide du point $$A$$ et du point $$D$$ on va pouvoir donner le coefficient directeur de la tangente.
$$f'\left(0\right)=\frac{y_{D} -y_{A} }{x_{D} -x_{A} }$$

La tangente $$T$$ admet donc un coefficient directeur qui vaut $$-1$$ et l'ordonnée à l'origine vaut $$3$$.
Une équation de la tangente à la courbe $$\mathscr{C}$$ au point $$A$$ est alors :

La fonction $$f$$ est croissante sur $$\left[-2;-1 \right]$$ donc sa dérivée $$f'$$ est positive.

La fonction $$f$$ est décroissante sur $$\left[-1;6 \right]$$ donc sa dérivée $$f'$$ est négative.

On en déduit le tableau de signe de $$f'$$ ci-dessous :

D'après l'énoncé, le point $$A$$ de coordonnées $$\left(0;3\right)$$ est l’unique point d’inflexion de la courbe $$\mathscr{C}$$ sur l’intervalle $$\left[-2;6\right]$$.

Sur l'intervalle $$\left[-2;0\right]$$ la courbe est en-dessous de ses tangentes donc $$f$$ est concave sur cet intervalle.

Sur l'intervalle $$\left[0;6\right]$$ la courbe est au-dessus de ses tangentes donc $$f$$ est convexe sur cet intervalle.

La fonction $$f$$ est positive sur $$\left[-1;0\right]$$ donc l'intégrale $$I$$ est positive et est égale à l'aire du domaine hachuré sur la figure ci-dessous.
On compte le nombre de carreau sous la courbe et l'axe des abscisses délimité par les droites verticales $$x=-1$$ et $$x=0$$.
On dénombre qu'il y a trois carreaux pleins hachurés et un quatrième pas complet.
Il en résulte donc que :

Nous savons que $$f\left(x\right)=\left(x+2\right)e^{-x} +1$$ .
Ainsi :
$$f\left(6\right)=\left(6+2\right)e^{-6} +1$$ équivaut successivement à :

$$f\left(6\right)=8e^{-6} +1$$ qui correspond à la valeur exacte.

$$f\left(6\right)\approx1,02$$ qui correspond à la valeur arrondie au centième.

Soit : $$f\left(x\right)=\left(x+2\right)e^{-x} +1$$
Ici on reconnaît la forme : $$\left(uv+w\right)'=u'v+uv'+w'$$ avec $$u\left(x\right)=x+2$$ ; $$v\left(x\right)=e^{-x}$$ et $$w\left(x\right)=1$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=1$$ ; $$v'\left(x\right)=-e^{-x}$$ et $$w'\left(x\right)=0$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=1\times e^{-x} +\left(x+2\right)\times \left(-e^{-x} \right)+0$$
$$f'\left(x\right)=e^{-x} +x\times \left(-e^{-x} \right)+2\left(-e^{-x} \right)$$
$$f'\left(x\right)=e^{-x} -xe^{-x} -2e^{-x}$$
$$f'\left(x\right)=-{\color{blue}{e^{-x}}} -x{\color{blue}{e^{-x}}}$$ . On factorise par $${\color{blue}{e^{-x}}}$$ .
D'où :

Nous venons de démontrer que : $$f'\left(x\right)=\left(-x-1\right)e^{-x}$$
Pour tout réel $$x\in\left[-2;6\right]$$, on a : $$e^{-x} >0$$.
De plus,
$$-x-1\ge 0$$ équivaut successivement à :
$$-x\ge 1$$
$$x\le \frac{1}{-1}$$
$$x\le -1$$.
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-x-1$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$-1$$.
On en déduit le tableau de variation suivant :

$$f\left(-2\right)=\left(-2+2\right)e^{2} +1$$ d'où $$f\left(-2\right)=1$$

$$f\left(-1\right)=\left(-1+2\right)e^{1} +1$$ d'où $$f\left(-1\right)=1+e$$

D'après le logiciel formel, nous pouvons voir qu'une primitive de la fonction $$x\mapsto \left(x+2\right)e^{-x}$$ est $$x\mapsto \left(-x-3\right)e^{-x}$$ car lorsque nous dérivons $$\left(-x-3\right)e^{-x}$$ nous obtenons $$\left(x+2\right)e^{-x}$$.
Nous savons que $$f\left(x\right)=\left(x+2\right)e^{-x} +1$$ alors une primitive de $$f$$ est alors :

On a :
$$m=\frac{1}{0-\left(-1\right)} \int _{-1}^{0}f\left(x\right) dx$$ équivaut successivement à :
$$m=F\left(0\right)-F\left(-1\right)$$
$$m=\left(-0-3\right)e^{-0} +0-\left(\left(-\left(-1\right)-3\right)e^{-\left(-1\right)} -1\right)$$
$$m=-3e^{0} -\left(\left(1-3\right)e^{1} -1\right)$$
$$m=-3-\left(-2e-1\right)$$
$$m=-3+2e+1$$
: Valeur exacte .
: Valeur arrondie au dixième.