Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 2

On sait que la tangente $$\Delta'$$ à la courbe $$C_{f}$$ au point $$B$$ est parallèle à l’axe des abscisses donc $$f'\left(x_{B}\right)=0$$ ce qui équivaut à : .

Sur l'intervalle $$\left[-3;-1\right]$$, la fonction $$f$$ est décroissante ce qui signifie que sur cette intervalle $$f'\left(x\right)<0$$.
Il en résulte donc que :

Le nombre $$f'\left(0\right)$$ est le coefficient directeur de la tangente $$\Delta$$ d’équation $$y =0,5x+3$$ donc :

Au point $$A$$, la courbe ne traverse pas sa tangente donc le point $$A$$ n’est pas un point d’inflexion de la courbe $$C_{f}$$.

La fonction $$f$$ est positive sur $$\left[0;1\right]$$ donc l'intégrale $$I$$ est positive et est égale à l'aire du domaine hachuré sur la figure qui, sachant que chaque carreau a une aire de $$1$$.
On compte le nombre de carreau sous la courbe et l'axe des abscisses et délimité par les droites verticales $$x=0$$ et $$x=1$$.
D'après le graphique ci-dessous :

D'après le graphique , on a : $$f\left(0\right)=3$$ , il vient alors que :
$$\left(a\times 0^{2} +b\times 0+c\right)e^{0} +5=3$$ d'où : $$c+5=3$$ ce qui nous donne :

$$f'\left(x\right)=\left(ax^{2} +\left(2a+b\right)x-2+b\right)e^{x}$$
Nous savons que $$f'\left(0\right)=0,5$$ ce qui donne :
$$\left(a\times 0^{2} +\left(2a+b\right)\times 0-2+b\right)e^{0}=0,5$$
$$-2+b=0,5$$

De plus, $$f'\left(1\right)=0$$ ce qui nous donne :
$$\left(a\times 1^{2} +\left(2a+b\right)\times 1-2+b\right)e^{1}=0$$. Comme $$e^{1}>0$$ , il vient alors que :
$$a\times 1^{2} +\left(2a+b\right)\times 1-2+b=0$$
$$a+2a+b-2+b=0$$
$$3a+2b-2=0$$
$$3a+2\times 2,5-2=0$$
Ainsi :

$$f$$ est dérivable sur $$\left[-3;2 \right]$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=-x^{2} +2,5x-2$$ et $$v\left(x\right)=e^{x}$$.
On note $$w\left(x\right)=5$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-2x+2,5$$ et $$v'\left(x\right)=e^{x}$$, enfin $$w'\left(x\right)=0$$
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\left(-2x+2,5\right)e^{x} +\left(-x^{2} +2,5x-2\right)e^{x}$$
$$f'\left(x\right)=e^{x} \left(-2x+2,5-x^{2} +2,5x-2\right)$$ . Ici on a factorisé par $$e^{x}$$.
Ainsi :

Nous savons que : $$f'\left(x\right)=e^{x} \left(-x^{2}+0,5x+0,5\right)$$
Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{x} >0$$. Il faut donc étudier le signe de $$-x^{2}+0,5x+0,5$$.
Pour étudier le signe de $$-x^{2}+0,5x+0,5$$ on va utiliser le discriminant .
Nous donnons directement les résultats car le discriminant n'a maintenant plus de secret pour nous.
$$\Delta =2,25$$ , $$x_{1} =-0,5$$ et $$x_{2} =1$$. Comme $$a=-1>0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
On en déduit le tableau de variation suivant :
De plus :
$$f\left(-3\right)=5-18,5e^{-3}\approx4,08$$
$$f\left(-0,5\right)=5-3,5e^{-0,5}\approx2,88$$
$$f\left(1\right)=5-0,5e\approx3,64$$
$$f\left(2\right)=5-e^{2}\approx-2,39$$

Nous faisons apparaître la valeur 0 recherchée dans le tableau de variation donnée. Il vient alors que :

• Sur $$\left[-3;1\right]$$ , la fonction $$f$$ est continue et admet $$5-3,5e^{-0,5}$$ comme minimum.
  La fonction $$f$$ est strictement supérieur à $$0$$.
  Donc l'équation $$f\left(x\right)=0$$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
• Sur $$\left[1;2\right]$$ , la fonction $$f$$ est continue et strictement décroissante.
  De plus, $$f\left(1\right)=5-0,5e\approx3,64$$ et $$f\left(2\right)=5-e^{2}\approx-2,39$$
  Or $$0 \in \left[5-e^{2};5-0,5e\right]$$ , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ dans $$\left[1;2\right]$$ tel que $$f(x) = 0$$
  

Finalement, l'équation $$f\left(x\right)=0$$ admet une unique solution sur $$\left[-3;2\right]$$.
A la calculatrice, on vérifie que :
$$f(1,84)\approx0,05$$ et $$f(1,85)\approx-0,07$$
Or $$0 \in \left[-0,07;0,05\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que : $$1,84\le\alpha\le1,85$$.