Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 1

D'après le graphique :

Pour déterminer la valeur de $$f'\left(0\right)$$, on doit lire le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $$0$$. Or, nous savons que la droite $$D$$ est tangente à la courbe $$C$$ au point $$A\left(0;-2\right)$$ et admet pour équation $$y=10x-2$$ donc :

Soit : $$f\left(x\right)=\left(ax-2\right)e^{-x}$$
Ici on reconnaît la forme : $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=ax-2$$ et $$v\left(x\right)=e^{-x}$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=a$$ et $$v'\left(x\right)=-e^{-x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=ae^{-x} +\left(ax-2\right)\times \left(-e^{-x}\right)$$ équivaut successivement à :
$$f'\left(x\right)=ae^{-x} +ax\times \left(-e^{-x} \right)+\left(-2\right)\times \left(-e^{-x} \right)$$
$$f'\left(x\right)=ae^{-x}-axe^{-x}+2e^{-x}$$ . Nous factorisons maintenant par $$e^{-x}$$ .

Nous savons que : $$f'\left(x\right)=e^{-x} \left(a-ax+2\right)$$ et que $$f'\left(0\right)=10$$. Il en résulte que :
$$f'\left(0\right)=10$$ équivaut successivement à :
$$e^{-0} \left(a-a\times 0+2\right)=10$$
$$a+2=10$$ ainsi :

Nous savons que : $$f'\left(x\right)=e^{-x} \left(a-ax+2\right)$$ et que $$a=8$$. Il en résulte que :
$$f'\left(x\right)=e^{-x} \left(8-8x+2\right)$$ ce qui nous donne :

Pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left[0;5\right]$$, on sait que $$e^{-x}>0$$ donc le signe de $$f'$$ dépend de $$-8x+10$$.
Ainsi :
$$-8x+10\ge0$$ équivaut successivement à :
$$-8x\ge-10$$
$$x\le \frac{-10}{-8}$$
$$x\le \frac{5}{4}$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-8x+10$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$\frac{5}{4}$$.
De plus :
$$f\left(0\right)=-2$$ ; $$f\left(\frac{5}{4}\right)=8e^{-\frac{5}{4}}$$ ; $$f\left(5\right)=38e^{-5}$$
On en déduit le tableau suivant :

Nous savons que $$f\left(x\right)=\left(ax-2\right)e^{-x}$$ et $$a=8$$ . Ainsi : $$f\left(x\right)=\left(8x-2\right)e^{-x}$$
De plus, pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left[0;5\right]$$, on sait que : $$e^{-x}>0$$.
Ainsi :
$$f\left(x\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$\left(8x-2\right)e^{-x}=0$$
$$8x-2=0$$ ou $$e^{-x}=0$$
Or une exponentielle est positive donc l'équation $$e^{-x}=0$$ n'a pas de solution.
D'où : $$8x-2=0$$ ainsi $$x=\frac{1}{4}$$
La solution de l'équation $$f\left(x\right)=0$$ est : $$S=\left\{\frac{1}{4} \right\}$$

La première ligne sert uniquement à rentrer la définition de la fonction $$f'\left(x\right)$$.
La deuxième ligne permet donc de calculer $$f''\left(x\right)$$.
Il en résulte donc que :

Nous allons étudier le signe de $$f''$$.
Pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left[0;5\right]$$, on sait que $$e^{-x}>0$$, donc le signe de $$f''$$ dépend alors de $$8x-18$$.
$$8x-18\ge0$$ équivaut successivement à :
$$8x\ge18$$
$$x\ge \frac{18}{8}$$
$$x\ge \frac{9}{4}$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$8x-18$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$\frac{9}{4}$$.
$$f$$ possède bien un point d'inflexion au point d'abscisse $$x=\frac{9}{4}$$ car sa dérivée seconde s'annule et change de signe en ce point; comme le justifie le tableau de signe suivant :

D’après le tableau des variations, la fonction $$f$$ admet un maximum pour $$x=\frac{5}{4}=1,25$$. Le bénéfice sera donc maximum pour $$1250$$ grille-pains.

Nous savons que $$f\left(\frac{5}{4}\right)=8e^{-\frac{5}{4}}$$
Le bénéfice maximum sera donc de $$8e^{-\frac{5}{4}}\times 100000\approx229$$ $$204$$ euros.