Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 4

$$f$$ est dérivable sur l’intervalle $$\left[1;25 \right]$$.
On reconnaît la forme $$\left(w-\frac{u}{v} \right)^{'} =w'-\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=e^{0,2x+1}$$ et $$v\left(x\right)=x$$
Ainsi : $$w'\left(x\right)=0$$ ; $$u'\left(x\right)=0,2e^{0,2x+1}$$ et $$v'\left(x\right)=1$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=0-\frac{0,2e^{0,2x+1}\times x-e^{0,2x+1}}{x^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=-\frac{e^{0,2x+1} \left(0,2x-1\right)}{x^{2} }$$ . Comme nous avons le signe moins devant la fraction , nous allons multiplier le numérateur par $$-1$$
Il en résulte donc que :

Pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left[1;25 \right]$$, on vérifie aisément que $$e^{0,2x+1}>0$$ et $$x^{2}>0$$. Il en résulte que le signe de $$f'$$ dépend alors de $$1-0,2x$$.
Résolvons alors :
$$1-0,2x\ge 0$$
$$-0,2x\ge -1$$
$$x\le \frac{-1}{-0,2}$$
$$x\le 5$$
Cela signifie donc que $$f'\left(x\right)\ge 0$$ lorsque $$x\le 5$$ et que $$f'\left(x\right)\le 0$$ lorsque $$x\ge 5$$.
Nous allons traduire cela dans un tableau de variation :
De plus :
$$f\left(1\right)=10-e^{1.2}\approx6,68$$
$$f\left(5\right)=10-\frac{e^{2}}{5}\approx8,522$$
$$f\left(25\right)=10-\frac{e^{6}}{25}\approx-6,137$$

On reprend le tableau de variation fait à la question $$0$$. On fera apparaître dans le tableau la valeur deux que l'on recherche.
Sur $$\left[1 ;5\right]$$, la fonction $$f$$ est continue et admet $$10-e^{1.2}$$ comme minimum.
La fonction $$f$$ est strictement positive sur cet intervalle.
Donc l'équation $$f\left(x\right)=0$$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
Sur $$\left[5 ;25 \right]$$, la fonction $$f$$ est continue et strictement décroissante.
De plus, $$f\left(5\right)=10-\frac{e^{2}}{5}\approx8,522$$ et $$f\left(25\right)=10-\frac{e^{6}}{25}\approx-6,137$$.
Or $$0\in \left[10-\frac{e^{6}}{25} ;10-\frac{e^{2}}{5}\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ dans $$\left[5;25 \right]$$ tel que $$f\left(x\right)=0$$.
A la calculatrice, on vérifie que :
$$f\left(21,95\right)\approx 0,014$$ et $$f\left(21,96\right)\approx -0,002$$ .
Or $$0\in \left]-0,045;0,134\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que :

Le logiciel de calcul formel nous donne la dérivée seconde de $$f$$. Ainsi :
$$f''\left(x\right)=\frac{e^{0,2x+1} \left(-x^{2}+10x-50\right)}{25x^{3} }$$
Pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left[1;25 \right]$$, on vérifie aisément que $$e^{0,2x+1}>0$$ et $$25x^{3}>0$$. Il en résulte que le signe de $$f''$$ dépend alors de $$-x^{2}+10x-50$$.
Pour étudier le signe de $$-x^{2}+10x-50$$ on va utiliser le discriminant .
Nous donnons directement les résultats car le discriminant n'a maintenant plus de secret pour nous.
$$\Delta =-100$$ . Il n'y a donc pas de racines réelles. Comme $$a=-1>0$$, la parabole est tournée vers le bas et ne traverse jamais l'axe des abscisses. Par conséquent, $$f''$$ est du signe de $$a$$.
Il en résulte donc que sur l'intervalle $$\left[1;25 \right]$$, on a : $$f''\left(x\right)<0$$ ce qui signifie que $$f$$ est concave sur cette intervalle.

D’après la partie $$A$$, on a vu que $$f$$ admet un maximum lorsque $$x=5$$. La valeur de ce maximum est alors $$f\left(5\right)\approx8,522$$ c'est à dire $$8522$$ euros.
Le bénéfice maximal est alors de $$8522$$ euros pour la production de $$50$$ tonnes.

On a vu dans la partie $$A$$ que $$f$$ est positive sur l’intervalle $$\left[1;\alpha \right]$$ et que $$\alpha\approx21,95$$. La société peut donc fabriquer au maximum $$219$$ tonnes (à une tonne près) d’aliments pour réaliser un bénéfice.