Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 3

$$g$$ est dérivable sur $$\left[-10;3 \right]$$.
$$g\left(x\right)=\left(-x+1\right)e^{2x} +3$$
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=-x+1$$ et $$v\left(x\right)=e^{2x}$$.
On note $$w\left(x\right)=3$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-1$$ et $$v'\left(x\right)=2e^{2x}$$, enfin $$w'\left(x\right)=0$$
Il vient alors que :
$$g'\left(x\right)=-e^{2x} +\left(-x+1\right)\left(2e^{2x} \right)+0$$
$$g'\left(x\right)=e^{2x} \left(-1+2\left(-x+1\right)\right)$$ . Ici on a factorisé par $$e^{2x}$$.
Ainsi :
Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{2x} >0$$.
$$-2x+1\ge 0\Leftrightarrow x\le \frac{1}{2}$$. Cela signifie que $$-2x+1$$ est positif dès que $$x\le \frac{1}{2}$$.
Ensuite : $$g\left(\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2} e+3$$
De plus :
$$g\left(-10 \right)=11e^{-20}+3$$ et $$g\left(-10\right)\approx 3$$
$$g\left(3 \right)=-2e^{6}+3$$ et $$g\left(3\right)\approx -803,8$$
On en déduit le tableau de variation suivant :

On reprend le tableau de variation fait à la question $$1$$. On fera apparaître dans le tableau la valeur deux que l'on recherche.
Sur $$\left[-10 ;\frac{1}{2} \right]$$, la fonction $$g$$ est continue et admet $$11e^{-20}+3$$ comme minimum.
La fonction $$g$$ est strictement positive sur cet intervalle.
Donc l'équation $$g\left(x\right)=0$$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
Sur $$\left[\frac{1}{2} ;10 \right]$$, la fonction $$g$$ est continue et strictement décroissante.
De plus, $$g\left(\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2} e+3$$ et $$g\left(3 \right)=-2e^{6}+3$$ et $$g\left(3\right)\approx -803,8$$ .
Or $$0\in \left[-2e^{6}+3 ;\frac{1}{2} e+3\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ dans $$\left[-10;3 \right]$$ tel que $$g\left(x\right)=0$$.
A la calculatrice, on vérifie que :
$$g\left(1,24\right)\approx 0,134$$ et $$g\left(1,25\right)\approx -0,045$$ .
Or $$0\in \left]-0,045;0,134\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que :

Sur $$\left[-10 ;\frac{1}{2} \right]$$, la fonction $$g$$ est continue et admet $$11e^{-20}+3$$ comme minimum.
La fonction $$g$$ est strictement positive.
Sur $$\left[\frac{1}{2} ;10\right]$$, la fonction $$g$$ est continue et strictement décroissante et $$g\left(\alpha \right)=0$$.
Donc $$g\left(x\right)\ge 0$$ pour tout $$x\in \left[-10 ;\alpha \right]$$ et $$g\left(x\right)\le 0$$ pour tout $$x\in \left[\alpha ;3\right]$$.
On résume cela dans un tableau de signe :

Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=-x+\frac{3}{2}$$ et $$v\left(x\right)=e^{2x}$$.
On note $$w\left(x\right)=6x-1$$Ainsi $$u'\left(x\right)=-1$$ et $$v'\left(x\right)=2e^{2x}$$, enfin $$w'\left(x\right)=6$$
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=-e^{2x} +\left(-x+\frac{3}{2} \right)\left(2e^{2x} \right)+6\Leftrightarrow f'\left(x\right)=e^{2x} \left(-1+2\left(-x+\frac{3}{2} \right)\right)+6$$
Ainsi : $$f'\left(x\right)=e^{2x} \left(-2x+2\right)+6$$.
On va maintenant factoriser $$f'$$par $$2$$.
On obtient :
$$f'\left(x\right)=2e^{2x} \left(-x+1\right)+3\times 2\Leftrightarrow f'\left(x\right)=2\left[e^{2x} \left(-x+1\right)+3\right]$$
Il en résulte que :

Comme $$f'\left(x\right)=2g\left(x\right)$$, il en résulte que le signe de $$f'$$ est le même que celui de $$g$$.
On en déduit facilement le tableau de variation de la fonction $$f$$ :