Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 1

$$f$$ est dérivable sur $$\left[-5;4\right]$$.
Ici on reconnaît la forme : $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=x^{2}-5x+1$$ et $$v\left(x\right)=e^{x}$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=2x-5$$ et $$v'\left(x\right)=e^{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\left(2x-5\right)e^{x} +\left(x^{2} -5x+1\right)e^{x}$$ . On va maintenant factoriser par $$e^{x}$$. Ce qui donne :
$$f'\left(x\right)=e^{x} \left(2x-5+x^{2}-5x+1 \right)$$

On sait que pour tout réel $$x \in \ \left[-5;4\right]$$ , on a : $$e^{x}>0$$. Donc le signe de $$f'$$ est alors du signe de $$x^{2}-3x-4$$.
Pour étudier le signe de $$x^{2}-3x-4$$ on va utiliser le discriminant .
Nous donnons directement les résultats car le discriminant n'a maintenant plus de secret pour nous.
$$\Delta =25$$ , $$x_{1} =-1$$ et $$x_{2} =4$$. Comme $$a=1>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
On en déduit le tableau de variation suivant :

De plus :
$$f\left(-5\right)=51e^{-5}$$ et $$f\left(-5\right)\approx 0,34$$
$$f\left(-1\right)=7e^{-1}$$ et $$f\left(-1\right)\approx 2,57$$
$$f\left(4\right)=-3e^{4}$$ et $$f\left(4\right)\approx -163,7$$

On reprend le tableau de variation fait à la question $$1$$. On fera apparaître dans le tableau la valeur deux que l'on recherche.
Sur $$\left[-5 ;-1\right]$$, la fonction $$f$$ est continue et admet $$51e^{-5}$$ comme minimum.
La fonction $$f$$ est strictement positive sur cet intervalle.
Donc l'équation $$f\left(x\right)=0$$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
Sur $$\left[-1 ;4 \right]$$, la fonction $$f$$ est continue et strictement décroissante.
De plus, $$f\left(-1\right)=7e^{-1}>0$$ et $$f\left(4\right)=-3e^{4}<0$$.
Or $$0\in \left[-3e^{4} ;7e^{-1}\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ dans $$\left[-5;4\right]$$ tel que $$f\left(x\right)=0$$.
A la calculatrice, on vérifie que :
$$f\left(0,2\right)\approx 0,05$$ et $$f\left(0,21\right)\approx -0,007$$ .
Or $$0\in \left]-0,007;0,05\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que :

Sur $$\left[-5 ;-1\right]$$, la fonction $$f$$ est continue et admet $$51e^{-5}$$ comme minimum.
La fonction $$f$$ est strictement positive.
Sur $$\left[-1;4\right]$$, la fonction $$f$$ est continue et strictement décroissante et $$f\left(\alpha \right)=0$$.
Donc $$f\left(x\right)\ge 0$$ pour tout $$x\in \left[-5 ;\alpha \right]$$ et $$f\left(x\right)\le 0$$ pour tout $$x\in \left[\alpha ;4\right]$$.
On résume cela dans un tableau de signe :

Ici $$a=0$$, ce qui donne, $$y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)$$.
1^ère étape : calculer $$f\left(0\right)$$
$$f\left(0\right)=\left(0^{2}-5\times 0+1\right)e^{0}$$
$$f\left(0\right)=1$$
2^ème étape : calculer $$f'\left(0\right)$$
$$f'\left(0\right)=e^{0} \left(0^{2}-3\times 0-4 \right)$$
$$f'\left(0\right)=-4$$
3^ème étape : on remplace les valeurs de $$f\left(0\right)$$ et de $$f'\left(0\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)$$
$$y=-4\times \left(x-0\right)+1$$
$$y=-4x+1$$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$C_{f}$$ au point d'abscisse $$0$$ est alors : .