Exercice 4 - Exercice 1

1 min
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La courbe C \mathscr{C} ci-dessous représente dans un repère orthogonal une fonction ff définie et dérivable sur l'intervalle [−4;3]\left[-4; 3\right].
Les points A d'abscisse −3-3 et C\mathscr{C} sont sur la courbe C\mathscr{C}.
Sont aussi représentées sur ce graphique les tangentes à la courbe C\mathscr{C} respectivement aux points A et B, la tangente au point A étant horizontale.
On note f′f' la fonction dérivée de ff .
Les parties AA et BB sont indépendantes.
Question 1
Partie A
Par lecture graphique déterminer :

f′(−3)f'\left(-3\right)

Correction
f′(−3)=0f'\left(-3\right)=0, en effet au point d'abscisse −3-3 la tangente à la courbe est horizontale
Question 2

f(0)f\left(0\right) et f′(0)f'\left(0\right)

Correction
f(0)=2f(0)=2

f′(0)f'\left(0\right) correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 00 donc au point BB.
De plus, le point (1;−1)\left(1;-1\right) appartient à cette tangente, on note D(1;−1)D\left(1;-1\right).
A l'aide du point BB et du point DD on va pouvoir donner le coefficient directeur de la tangente .
f′(0)=yD−yBxD−xBf'\left(0\right)=\frac{y_{D} -y_{B} }{x_{D} -x_{B} } ainsi
f′(0)=−3f'(0)=-3
Question 3
La fonction ff est définie sur [−4;3]\left[-4;3\right] par :
f(x)=a+(x+b)e−xf\left(x\right)=a+\left(x+b\right)e^{-x}
Où aa et bb sont deux réels que l'on va déterminer dans cette partie.

Calculer f′(x)f'\left(x\right) pour tout réel xx de [−4;3]\left[-4;3\right].

Correction
ff est dérivable sur [−4;3]\left[-4;3\right].
On reconnait la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' où u(x)=x+bu\left(x\right)=x+b et v(x)=e−xv\left(x\right)=e^{-x} .
Ainsi u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=−e−xv'\left(x\right)=-e^{-x} .
f′(x)=0+1×e−x−e−x×(x+b)f'(x)=0+1\times e^{-x} -e^{-x} \times \left(x+b\right)
f′(x)=e−x−xe−x−be−xf'(x)=e^{-x} -xe^{-x} -be^{-x}
f′(x)=e−x(1−x−b)f'(x)=e^{-x} \left(1-x-b\right)
Question 4

A l'aide des questions 22 et 33, montrer que les nombres aa et bb vérifient le système suivant :
{a+b=21−b=−3\left\{\begin{array}{ccccc} {a} & {+} & {b} & {=} & {2} \\ {1} & {-} & {b} & {=} & {-3} \end{array}\right.

Correction
Comme,
f′(0)=−3f'(0)=-3 équivaut successivement à
e0(1−0−b)=−3e^{0} \left(1-0-b\right)=-3
1−b=−31-b=-3

f(0)=2f(0)=2 équivaut successivement à
a+(0+b)×e−0=2a+\left(0+b\right)\times e^{-0} =2
a+b=2a+b=2
Question 5

Déterminer alors les valeurs des nombres aa et bb.

Correction
{a+b=21−b=−3\left\{\begin{array}{ccccc} {a} & {+} & {b} & {=} & {2} \\ {1} & {-} & {b} & {=} & {-3} \end{array}\right. équivaut successivement à
{a+b=2−b=−4\left\{\begin{array}{ccccc} {a} & {+} & {b} & {=} & {2} \\ {} & {-} & {b} & {=} & {-4} \end{array}\right.
{a+b=2b=4\left\{\begin{array}{ccccc} {a} & {+} & {b} & {=} & {2} \\ {} & {} & {b} & {=} & {4} \end{array}\right.
{a+4=2b=4\left\{\begin{array}{ccccc} {a} & {+} & {4} & {=} & {2} \\ {} & {} & {b} & {=} & {4} \end{array}\right.
{a=2−4b=4\left\{\begin{array}{ccccc} {a} & {} & {} & {=} & {2-4} \\ {} & {} & {b} & {=} & {4} \end{array}\right.
{a=−2b=4\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-2} \\ {b} & {=} & {4} \end{array}\right.
Question 6
Partie B
On admet que la fonction ff est définie sur [−4;3]\left[-4;3\right] par : f(x)=−2+(x+4)e−x.f\left(x\right)=-2+\left(x+4\right)e^{-x} .

Justifier que, pour tout réel xx de [−4;3]\left[-4;3\right], f′(x)=(−x−3)e−xf'\left(x\right)=\left(-x-3\right)e^{-x} et en déduire le tableau de variation de ff sur [−4;3]\left[-4;3\right].

Correction
La fonction ff est dérivable sur [−4;3]\left[-4;3\right] en tant que somme de fonctions dérivables.
On reconnait la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' où u(x)=x+4u\left(x\right)=x+4 et v(x)=e−xv\left(x\right)=e^{-x} .
Ainsi u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=−e−xv'\left(x\right)=-e^{-x} .
f′(x)=e−x−e−x×(x+4)f'\left(x\right)=e^{-x} -e^{-x} \times \left(x+4\right)
f′(x)=e−x×(1−(x+4))f'\left(x\right)=e^{-x} \times \left(1-\left(x+4\right)\right)
f′(x)=(−x−3)e−xf'\left(x\right)=\left(-x-3\right)e^{-x}

Comme : e−x>0e^{-x} >0 pour tout x∈Rx\in R, le signe de f′(x)f'\left(x\right) ne dépendra que de : −x−3-x-3.
−x−3≥0-x-3\ge 0
−x≥3-x\ge 3
x≤−3x\le -3
Il en résulte donc que :
  • si x∈]−∞;−3]x\in\left]-\infty;-3\right] alors f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge0 et donc ff est croissante sur cet intervalle.
  • si x∈[−3;+∞[x\in\left[-3;+\infty\right[ alors f′(x)≤0f'\left(x\right)\le0 et donc ff est décroissante sur cet intervalle.

f(−4)=−2+(−4+4)e4=−2f\left(-4\right)=-2+\left(-4+4\right)e^{4} =-2
f(−3)=−2+(−3+4)e3=−2+e3f\left(-3\right)=-2+\left(-3+4\right)e^{3} =-2+e^{3} et f(−3)≈18,09f\left(-3\right)\approx 18,09
f(3)=−2+(3+4)e−3=−2+7e−3f\left(3\right)=-2+\left(3+4\right)e^{-3} =-2+7e^{-3} et f(3)≈−1,65f\left(3\right)\approx -1,65
Question 7

Montrer que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet une unique solutions α\alpha sur[−3;3]\left[-3;3\right], puis donner une valeur approchée de α\alpha à 0,010,01 près par défaut.

Correction
Sur [−3;3]\left[-3;3\right], la fonction ff est continue et strictement décroissante.
De plus, f(−3)=2+e3f\left(-3\right)=2+e^{3} et f(3)=−2+21e−3f\left(3\right)=-2+21e^{-3} .
Or 0∈[−2+21e−3;2+e3]0\in \left[-2+21e^{-3} ;2+e^{3} \right], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution α\alpha dans [−3;3]\left[-3;3\right] tel que f(x)=0f\left(x\right)=0.
Avec la calculatrice, nous trouvons
α≈0,89\alpha\approx 0,89
Question 8
On souhaite calculer l'aire SS, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe C\mathscr{C}, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=−3x=-3 et x=0x=0.

Exprimer, en justifiant, cette aire à l'aide d'une intégrale.

Correction
La fonction ff est continue, car dérivable, et sur l'intervalle [−3;0]\left[-3;0\right], elle admet un minimum atteint pour x=0x=0 et qui vaut : f(0)=2f(0)=2
On en déduit que f(x)>0f\left(x\right)>0 pour tout x∈[−3;0]x\in \left[-3;0\right].
Ainsi l'aire comprise entre les axes d'équations x=−3x=-3, x=0x=0, l'axe des abscisses et la courbe représentative de ff vaut :
A=∫-30f(x)dxA=\int _{{\text -3}}^{0}f\left(x\right)dx
Question 9
Soit F(x)=−2x+(−x−5)e−x.F\left(x\right)=-2x+\left(-x-5\right)e^{-x}.

Montrer que FF est bien une primitive de ff. Calculer ensuite A=∫-30f(x)dxA=\int _{{\text -3}}^{0}f\left(x\right)dx

Correction
Dans le cas où une primitive FF est donnée, il vous suffit de dériver FF et d'obtenir comme résultat ff.
Autrement dit, il faut que : F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)
Ainsi :
F′(x)=x×e−x+4×e−x−2F'\left(x\right)=x\times e^{-x} +4\times e^{-x} -2
F′(x)=e−x(x+4)−2F'\left(x\right)=e^{-x} \left(x+4\right)-2
F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)
. Donc une primitive de ff est F(x)=−2+(−x−5)e−xF\left(x\right)=-2+\left(-x-5\right)e^{-x}

Calculons ensuite :
F(−3)=−2×(−3)+(3−5)e+3=−2e3+6F\left(-3\right)=-2\times \left(-3\right)+\left(3-5\right)e^{+3} =-2e^{3} +6
F(0)=−2×(0)+(0−5)e0=−5F\left(0\right)=-2\times \left(0\right)+\left(0-5\right)e^{0} =-5

Ainsi :
A=∫-30f(x)dx=[F(x)]−30=F(0)−F(−3)=−5+2e3−6=2e3−11A=\int _{{\text -3}}^{0}f(x)dx =\left[F(x)\right]_{-3}^{0} =F(0)-F(-3)=-5+2e^{3} -6=2e^{3} -11
A≈29,17A\approx 29,17 U.A

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