Exercice 2 - Exercice 1

Le nombre de milliers d'insectes est donné par $$f(t)=25e^{-0,5t}$$ où $$t$$ est exprimé en années, donc le nombre d'insectes au départ est $$f(0)\times 1000=25000$$, et le nombre d'insectes au bout d'un an est $$f(1)\times 1000\approx 15163$$.
Le pourcentage d'évolution est : $$\frac{{\text Valeur\; Finale\; -\; Valeur\; Initiale}}{{\text Valeur\; Initiale}} \times 100=\frac{15163-25000}{25000} \times 100\approx -39,35.$$
Le pourcentage de diminution du nombre d'insectes la première année est approximativement de $$39\%$$.

La fonction $$F$$ définie sur $$\left[0;4\right]$$, par $$F(t)=-50e^{-0,5t}$$ est une primitive de $$f$$ si, pour tout $$t$$ de $$\left[0;4\right]$$, $$F'(t)=f(t)$$.
Ainsi :
$$F'(t)=-50\times (-0,5)e^{-0,5t}$$
$$F'(t)=25e^{-0,5t}$$

Donc $$F$$ est une primitive de $$f$$ sur $$\left[0;4\right]$$.

On commence donc à déterminer une primitive de $$f$$.
D'après la question $$2$$, $$F(t)=-50e^{-0,5t}$$
Il vient alors :
$$\int _{2}^{4}25e^{-0,5t} dt =F\left(4\right)-F\left(2\right)$$
$$\int _{2}^{4}25e^{-0,5t} dt =-50e^{-0,5\times 4} +50e^{-0,5\times 2}$$
$$\int _{2}^{4}25e^{-0,5t} dt =-50e^{-2} +50e^{-1}$$

On calcule la valeur moyenne de la fonction $$f$$ entre $$2$$ et $$4$$

Ensuite, on applique la formule de la valeur moyenne :
$$m=\frac{1}{4-2} \int _{2}^{4}25e^{-0,5t} dt$$ équivaut successivement à
$$m=\frac{1}{2} \times \left(50\left(e^{-1} -e^{-2} \right)\right)$$

On reconnait la forme $$\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}$$
Comme alors :
$$g'(t)=20\times (-0,1\times 2t)e^{-0,1t^{2} } +1$$

On admet que la fonction $$g'$$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $$\left[4;10\right]$$.
$$g'(4)=1-16e^{-1,6} \approx -2,23<0$$ et $$g'(10)=1-40e^{-10} \approx 0,998>0$$
On établit le tableau de variation de la fonction $$g'$$ sur l'intervalle $$\left[4;10\right]$$

D'après le tableau de variation de $$g'$$on peut déduire que l'équation $$g'(t)=0$$ admet une solution unique $$\alpha$$ dans l'intervalle $$\left[4;10\right]$$.
$$\begin{array}{l} {g'(5)\approx -0,64<0} \\ {g'(6)\approx 0,34>0} \end{array}\left. \begin{array}{l} {} \\ {} \end{array}\right\}\Rightarrow \alpha \in \left[5;{\; 6}\right]~; \left. \begin{array}{l} {g'(5,5)\approx -0,07<0} \\ {g'(5,6)\approx 0,03>0} \end{array}\right\}\Rightarrow \alpha \in \left[5,5;{\; 5,6}\right]$$
$$\left. \begin{array}{l} {g'(5,57)\approx -0,001<0} \\ {g'(5,58)\approx 0,008>0} \end{array}\right\}\Rightarrow \alpha \in \left[5,57;{\; 5,58}\right]$$
Donc la valeur arrondie au dixième de $$\alpha$$ est $$5,6$$.

D'après le tableau de variation de la fonction$$g'$$ sur $$\left[4;10\right]$$, on peut dire que :

• $$g'(t)<0$$ sur $$\left[4;\alpha \right[$$
• $$g'(t)=0$$ et $$t=\alpha$$
• $$g'(t)>0$$ sur $$\left]\alpha ;10\right]$$

D'après les résultats des questions précédentes, on peut voir que le nombre d'insectes commence à remonter à partir de $$t=\alpha$$, c'est-à-dire à partir de la sixième année puisque $$\alpha \approx 5,7$$.
Donc le traitement semble efficace sur la population d'insectes à partir de la sixième année.