Exercice 1 - Exercice 1

1 min
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Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Chaque question ci-après comporte quatre propositions de réponse.
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte.
On demande bien sûr de justifier.
Question 1

On considère la fonction ff définie par f(x)=(2x+3)e−4x+1f\left(x\right)=\left(2x+3\right)e^{-4x+1} .
La fonction ff est dérivable sur R\mathbb{R} et sa dérivée f′f' est donnée par :
  • f′(x)=−8e−4x+1f'\left(x\right)=-8e^{-4x+1}
  • f′(x)=2e−4x+1f'\left(x\right)=2e^{-4x+1}
  • f′(x)=(−8x−10)e−4x+1f'\left(x\right)=\left(-8x-10\right)e^{-4x+1}
  • f′(x)=(−8x+10)e−4x+1f'\left(x\right)=\left(-8x+10\right)e^{-4x+1}

Correction
La bonne réponse est c.
On reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=2x+3u\left(x\right)=2x+3 et v(x)=e−4x+1v\left(x\right)=e^{-4x+1} .
Ainsi : u′(x)=2u'\left(x\right)=2 et v′(x)=−4e−4x+1v'\left(x\right)=-4e^{-4x+1} .
Il vient alors que :
f′(x)=2e−4x+1+(2x+3)(−4×e−4x+1)f'\left(x\right)=2e^{-4x+1} +\left(2x+3\right)\left(-4\times e^{-4x+1} \right)
f′(x)=2e−4x+1−8x×e−4x+1−12×e−4x+1f'\left(x\right)=2e^{-4x+1} -8x\times e^{-4x+1} -12\times e^{-4x+1} (on factorise par e−4x+1e^{-4x+1} )
f′(x)=e−4x+1(2−8x−12)f'\left(x\right)=e^{-4x+1} \left(2-8x-12\right)
f′(x)=e−4x+1(−8x−10)f'\left(x\right)=e^{-4x+1} \left(-8x-10\right)
Question 2

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=xe−2xf\left(x\right)=xe^{-2x} .
  • La fonction ff est convexe sur R\mathbb{R}.
  • La fonction ff est concave sur R\mathbb{R}.
  • La fonction ff est concave sur [1;+∞[\left[1;+\infty \right[ .
  • La fonction ff est convexe sur [1;+∞[\left[1;+\infty \right[.

Correction
La bonne réponse est d.
  • Lorsque f′′(x)≥0f''\left(x\right)\ge 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors ff est convexe.
  • Lorsque f′′(x)≤0f''\left(x\right)\le 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors ff est concave.
On va calculer la dérivée de ff que l'on notera f′f'.
Ensuite on calculera la dérivée de f′f' que l'on notera f"f".
On reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=xu\left(x\right)=x et v(x)=e−2xv\left(x\right)=e^{-2x} .
Ainsi : u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=−2e−2xv'\left(x\right)=-2e^{-2x} .
Il vient alors que :
f′(x)=e−2x+x×(−2e−2x)f'\left(x\right)=e^{-2x} +x\times \left(-2e^{-2x} \right)
f′(x)=e−2x−2xe−2xf'\left(x\right)=e^{-2x} -2xe^{-2x} (on factorise par e−2xe^{-2x} )
f′(x)=e−2x(1−2x)f'\left(x\right)=e^{-2x} \left(1-2x\right)
f′(x)=(1−2x)e−2xf'\left(x\right)=\left(1-2x\right)e^{-2x}

On va maintenant calculer la dérivée de de f′f' que l'on notera f′′f''.
On reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=1−2xu\left(x\right)=1-2x et v(x)=e−2xv\left(x\right)=e^{-2x} .
Ainsi : u′(x)=−2u'\left(x\right)=-2 et v′(x)=−2e−2xv'\left(x\right)=-2e^{-2x} .
Il vient alors que :
f′′(x)=−2e−2x+(1−2x)×(−2e−2x)f''\left(x\right)=-2e^{-2x} +\left(1-2x\right)\times \left(-2e^{-2x} \right)
f′′(x)=−2e−2x−2e−2x+4xe−2xf''\left(x\right)=-2e^{-2x} -2e^{-2x} +4xe^{-2x}
f′′(x)=−4e−2x+4xe−2xf''\left(x\right)=-4e^{-2x} +4xe^{-2x} (on factorise par e−2xe^{-2x} )
f′′(x)=e−2x(−4+4x)f''\left(x\right)=e^{-2x} \left(-4+4x\right)

On va étudier le signe de f′′f''.
Pour tout réel xx, on sait que e−2x>0e^{-2x} >0
De plus,
−4+4x≥0-4+4x\ge 0
4x≥44x\ge 4
x≥44x\ge \frac{4}{4}
x≥1x\ge 1
Il en résulte donc que :
  • si x∈]−∞;1]x\in\left]-\infty;1\right] alors f′′(x)≤0f''\left(x\right)\le0
  • si x∈[1;+∞[x\in\left[1;+\infty\right[ alors f′′(x)≥0f''\left(x\right)\ge0
On en déduit le tableau ci-dessous :
Question 3

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x+1exf\left(x\right)=\frac{x+1}{e^{x} } .
L'équation de la tangente au point d'abscisse 00 est :
  • y=2x+1y=2x+1
  • y=x+2y=x+2
  • y=2xy=2x
  • y=1y=1

Correction
La bonne réponse est d.
On commence par calculer la dérivée de ff notée f′f' puis on calculera l'équation de la tangente.
On reconnaît la forme : (uv)′=u′v−uvv2′\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv}{v^{2} } ' avec u(x)=x+1u\left(x\right)=x+1 et v(x)=exv\left(x\right)=e^{x} .
Ainsi : u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=exv'\left(x\right)=e^{x} .
Il vient alors que :
f′(x)=ex−(x+1)×ex(ex)2f'\left(x\right)=\frac{e^{x} -\left(x+1\right)\times e^{x} }{\left(e^{x} \right)^{2} }
f′(x)=ex−x×ex−ex(ex)2f'\left(x\right)=\frac{e^{x} -x\times e^{x} -e^{x} }{\left(e^{x} \right)^{2} }
f′(x)=−x×ex(ex)2=−x×exex×exf'\left(x\right)=\frac{-x\times e^{x} }{\left(e^{x} \right)^{2} } =\frac{-x\times e^{x} }{e^{x} \times e^{x} }
f′(x)=−xexf'\left(x\right)=\frac{-x}{e^{x} }

On rappelle que l'équation de la tangente au point d'abscisse aa est donnée par la formule y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Ici nous voulons l'équation de la tangente au point d'abscisse 00, donc a=0a=0.
Calculons d'une part : f(0)f\left(0\right) :
f(0)=0+1e0=1f\left(0\right)=\frac{0+1}{e^{0} } =1
Calculons d'une part : f′(0)f'\left(0\right) :
f′(0)=−0e0=0f'\left(0\right)=\frac{-0}{e^{0} } =0
On substitue ces valeurs dans la formule y=f′(0)(x−0)+f(0)y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right) ce qui nous donne :
y=0×(x−0)+1y=0\times \left(x-0\right)+1
y=1y=1
Question 4

La fonction FF définie sur R\mathbb{R} par F(x)=(x+1)e−3x2F\left(x\right)=\left(x+1\right)e^{-3x^{2} } est une primitive de la fonction ff définie par :
  • f(x)=e−3x2f\left(x\right)=e^{-3x^{2} }
  • f(x)=−3xe−3x2f\left(x\right)=-3xe^{-3x^{2} }
  • f(x)=(−6x2−6x+1)e−3x2f\left(x\right)=\left(-6x^{2} -6x+1\right)e^{-3x^{2} }
  • f(x)=(−3x−3)e−3x2f\left(x\right)=\left(-3x-3\right)e^{-3x^{2} }

Correction
La bonne réponse est c.
Nous allons dériver FF et le résultat obtenu sera la fonction qui admet ff comme primitive.
On reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=x+1u\left(x\right)=x+1 et v(x)=e−3x2v\left(x\right)=e^{-3x^{2} } .
Ainsi : u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=−6x×e−3x2v'\left(x\right)=-6x\times e^{-3x^{2} } .
Il vient alors que :
F′(x)=e−3x2+(x+1)×(−6x×e−3x2)F'\left(x\right)=e^{-3x^{2} } +\left(x+1\right)\times \left(-6x\times e^{-3x^{2} } \right)
F′(x)=e−3x2−6x2e−3x2−6xe−3x2F'\left(x\right)=e^{-3x^{2} } -6x^{2} e^{-3x^{2} } -6xe^{-3x^{2} } (on factorise par e−3x2e^{-3x^{2} } )
F′(x)=e−3x2(1−6x2−6x)F'\left(x\right)=e^{-3x^{2} } \left(1-6x^{2} -6x\right)
F′(x)=(−6x2−6x+1)e−3x2F'\left(x\right)=\left(-6x^{2} -6x+1\right)e^{-3x^{2} }
Question 5

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(−3x+6)e−xf\left(x\right)=\left(-3x+6\right)e^{-x} .
L'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet :
  • Une solution positive.
  • Une solution négative.
  • Deux solutions sur R\mathbb{R}.
  • Aucune solution.

Correction
La bonne réponse est a.
f(x)=0f\left(x\right)=0 équivaut successivement à
(−3x+6)e−x=0\left(-3x+6\right)e^{-x} =0
Il s'agit d'une équation produit nul, ainsi :
−3x+6=0-3x+6=0 ou e−x=0e^{-x} =0
Résolvons d'une part :
−3x+6=0-3x+6=0 équivaut à
−3x=−6-3x=-6
x=−6−3x=\frac{-6}{-3}
x=2x=2
Résolvons d'autre part :
e−x=0e^{-x} =0. Il n'y a pas de solutions à cette équation car une exponentielle est strictement positive.
Finalement, il n'y a qu'une seule solution positive à l'équation (−3x+6)e−x=0\left(-3x+6\right)e^{-x} =0 qui est alors
x=2x=2
Question 6

L'unique solution de l'équation e2x−3=0e^{2x} -3=0 est :
  • x=0,5493061443x=0,5493061443
  • x=e32x=\frac{e^{3} }{2}
  • x=ln⁡(3)2x=\frac{\ln \left(3\right)}{2}
  • x=ln⁡(2)3x=\frac{\ln \left(2\right)}{3}

Correction
La bonne réponse est c.
e2x−3=0e^{2x} -3=0 équivaut successivement à
e2x=3e^{2x} =3
ln⁡(e2x)=ln⁡(3)\ln \left(e^{2x} \right)=\ln \left(3\right)
2x=ln⁡(3)2x=\ln \left(3\right)
x=ln⁡(3)2x=\frac{\ln \left(3\right)}{2}
Question 7

On pose H=∫126e2x−2dxH=\int _{1}^{2}6e^{2x-2} dx.
La valeur exacte de HH est :
  • H=6e2−6H=6e^{2} -6
  • H=6−6e2H=6-6e^{2}
  • H=3−3e2H=3-3e^{2}
  • H=3e2−3H=3e^{2} -3

Correction
La bonne réponse est d.
Soit f(x)=6e2x−2f\left(x\right)=6e^{2x-2} .
Calculons une primitive de ff.
On rappelle qu'une primitive d'une fonction de la forme eax+be^{ax+b} est F(x)=1aeax+bF\left(x\right)=\frac{1}{a} e^{ax+b}
Donc une primitive de f(x)=6e2x−2f\left(x\right)=6e^{2x-2} est alors F(x)=6×12e2x−2=3e2x−2F\left(x\right)=6\times \frac{1}{2} e^{2x-2} =3e^{2x-2}
Calculons :
F(2)=3e2×2−2=3e4−2=3e2F\left(2\right)=3e^{2\times 2-2} =3e^{4-2} =3e^{2}
F(1)=3e2×1−2=3e0=3F\left(1\right)=3e^{2\times 1-2} =3e^{0} =3
F(2)−F(1)=3e2−3F\left(2\right)-F\left(1\right)=3e^{2} -3
Donc
H=∫126e2x−2dx=3e2−3H=\int _{1}^{2}6e^{2x-2} dx=3e^{2} -3
Question 8

La valeur exacte de P=e2×(e3)2eP=\frac{e^{2} \times \left(e^{3} \right)^{2} }{e} est :
  • P=1096,633158P=1096,633158
  • P=e7P=e^{7}
  • P=e6P=e^{6}
  • P=e−5P=e^{-5}

Correction
La bonne réponse est b.
P=e2×(e3)2eP=\frac{e^{2} \times \left(e^{3} \right)^{2} }{e} équivaut à
P=e2×e6eP=\frac{e^{2} \times e^{6} }{e}
P=e2+6e=e8eP=\frac{e^{2+6} }{e} =\frac{e^{8} }{e} rappelons-nous que e=e1e=e^{1}
P=e8−1=e7P=e^{8-1} =e^{7}
Question 9

On considère la fonction ff définie sur RR par f(x)=3xe−xf\left(x\right)=3xe^{-x} .
L'image de f(ln⁡5)f\left(\ln 5\right) par ff est égale à :
  • 5ln⁡(5)5\ln \left(5\right)
  • 35ln⁡(5)\frac{3}{5} \ln \left(5\right)
  • 15ln⁡(5)15\ln \left(5\right)
  • 53ln⁡(5)\frac{5}{3} \ln \left(5\right)

Correction
La bonne réponse est b.
f(ln⁡5)=3×ln⁡5×e−ln⁡5f\left(\ln 5\right)=3\times \ln 5\times e^{-\ln 5}
f(ln⁡5)=3×ln⁡5×1eln⁡5f\left(\ln 5\right)=3\times \ln 5\times \frac{1}{e^{\ln 5} }
f(ln⁡5)=3×ln⁡5×15f\left(\ln 5\right)=3\times \ln 5\times \frac{1}{5}
f(ln⁡5)=35ln⁡5f\left(\ln 5\right)=\frac{3}{5} \ln 5
Question 10

On admet qu'une équation de la tangente à la courbe CC au point d'abscisse 2 est : y=−xe−ln⁡(3)+1ln⁡(2).y=-\frac{x}{e^{-\ln \left(3\right)} } +\frac{1}{\ln \left(2\right)} .
Le nombre dérivé de ff en 22 est :
  • 33
  • 13\frac{1}{3}
  • −13-\frac{1}{3}
  • −3-3

Correction
La bonne réponse est d.
Le nombre dérivé de ff en 22 est noté f′(2)f'\left(2\right).
Il s'agit du coefficient directeur de la tangente y=−xe−ln⁡(3)+1ln⁡(2)y=-\frac{x}{e^{-\ln \left(3\right)} } +\frac{1}{\ln \left(2\right)} .
Il s'agit du nombre devant le xx.
Ainsi :
f′(2)=−1e−ln⁡(3)f'\left(2\right)=-\frac{1}{e^{-\ln \left(3\right)} }
f′(2)=−1(1eln⁡(3))f'\left(2\right)=-\frac{1}{\left(\frac{1}{e^{\ln \left(3\right)} } \right)}
f′(2)=−1(13)f'\left(2\right)=-\frac{1}{\left(\frac{1}{3} \right)}
f′(2)=−3f'\left(2\right)=-3
Question 11

Pour tout réel xx différent de −ln⁡(2)-\ln \left(2\right) , A=3−2e−x−1e−x−2A=3-\frac{2e^{-x} -1}{e^{-x} -2} est égale à :
  • 1−5ex1+2ex\frac{1-5e^{x} }{1+2e^{x} }
  • 1+5ex1−2ex\frac{1+5e^{x} }{1-2e^{x} }
  • 1−5ex1−2ex\frac{1-5e^{x} }{1-2e^{x} }
  • 1−5ex−1+2ex\frac{1-5e^{x} }{-1+2e^{x} }

Correction
La bonne réponse est c.
A=3−2e−x−1e−x−2A=3-\frac{2e^{-x} -1}{e^{-x} -2}
A=31−2e−x−1e−x−2A=\frac{3}{1} -\frac{2e^{-x} -1}{e^{-x} -2}
A=3(e−x−2)e−x−2−2e−x−1e−x−2A=\frac{3\left(e^{-x} -2\right)}{e^{-x} -2} -\frac{2e^{-x} -1}{e^{-x} -2}
A=3e−x−6e−x−2−2e−x−1e−x−2A=\frac{3e^{-x} -6}{e^{-x} -2} -\frac{2e^{-x} -1}{e^{-x} -2}
A=3e−x−6−(2e−x−1)e−x−2A=\frac{3e^{-x} -6-\left(2e^{-x} -1\right)}{e^{-x} -2}
A=3e−x−6−2e−x+1e−x−2A=\frac{3e^{-x} -6-2e^{-x} +1}{e^{-x} -2}
A=e−x−5e−x−2A=\frac{e^{-x} -5}{e^{-x} -2}
A=ex×(e−x−5)ex×(e−x−2)A=\frac{e^{x} \times \left(e^{-x} -5\right)}{e^{x} \times \left(e^{-x} -2\right)}
A=ex×e−x−5exex×e−x−2exA=\frac{e^{x} \times e^{-x} -5e^{x} }{e^{x} \times e^{-x} -2e^{x} }
A=ex−x−5exex−x−2exA=\frac{e^{x-x} -5e^{x} }{e^{x-x} -2e^{x} }
A=e0−5exe0−2exA=\frac{e^{0} -5e^{x} }{e^{0} -2e^{x} }
A=1−5ex1−2exA=\frac{1-5e^{x} }{1-2e^{x} }

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