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La fonction exponentielle
Etude de fonctions - Exercice 3
20 min
35
Ne faire que cet exercice si vous avez vu la fonction logarithme.
\red{\text{Ne faire que cet exercice si vous avez vu la fonction logarithme. }}
Ne faire que cet exercice si vous avez vu la fonction logarithme.
Question 1
Etudiez les variations des fonctions suivantes sur
R
\mathbb{R}
R
.
f
(
x
)
=
2
e
x
−
2
x
+
1
f\left(x\right)=2e^{x}-2x+1
f
(
x
)
=
2
e
x
−
2
x
+
1
Correction
f
f
f
est dérivable sur
R
\mathbb{R}
R
. On a :
f
′
(
x
)
=
2
e
x
−
2
f'\left(x\right)=2e^{x}-2
f
′
(
x
)
=
2
e
x
−
2
Résolvons l'inéquation :
2
e
x
−
2
≥
0
2e^{x}-2 \ge 0
2
e
x
−
2
≥
0
équivaut successivement à :
2
e
x
≥
2
2e^{x} \ge 2
2
e
x
≥
2
e
x
≥
1
e^{x} \ge 1
e
x
≥
1
e
x
≥
e
0
e^{x} \ge e^{0}
e
x
≥
e
0
x
≥
0
x \ge 0
x
≥
0
Cela signifie que
2
e
x
−
2
≥
0
2e^{x}-2 \ge 0
2
e
x
−
2
≥
0
lorsque
x
≥
0
x \ge 0
x
≥
0
. Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ainsi :
Question 2
f
(
x
)
=
e
x
−
3
x
+
6
f\left(x\right)=e^{x}-3x+6
f
(
x
)
=
e
x
−
3
x
+
6
Correction
e
l
n
a
=
a
e^{lna} =a
e
l
na
=
a
avec
a
>
0
a>0
a
>
0
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e^{A} =e^{B} \Leftrightarrow A=B
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
f
f
f
est dérivable sur
R
\mathbb{R}
R
. On a :
f
′
(
x
)
=
e
x
−
3
f'\left(x\right)=e^{x}-3
f
′
(
x
)
=
e
x
−
3
Résolvons l'inéquation :
e
x
−
3
≥
0
e^{x}-3 \ge 0
e
x
−
3
≥
0
équivaut successivement à :
e
x
≥
3
e^{x} \ge 3
e
x
≥
3
e
x
≥
e
ln
3
e^{x} \ge e^{\ln3}
e
x
≥
e
l
n
3
x
≥
ln
3
x \ge \ln3
x
≥
ln
3
Cela signifie que
e
x
−
3
≥
0
e^{x}-3 \ge 0
e
x
−
3
≥
0
lorsque
x
≥
ln
3
x \ge \ln3
x
≥
ln
3
. Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ainsi :
Question 3
f
(
x
)
=
−
4
e
x
+
8
x
−
1
f\left(x\right)=-4e^{x}+8x-1
f
(
x
)
=
−
4
e
x
+
8
x
−
1
Correction
e
l
n
a
=
a
e^{lna} =a
e
l
na
=
a
avec
a
>
0
a>0
a
>
0
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e^{A} =e^{B} \Leftrightarrow A=B
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
f
f
f
est dérivable sur
R
\mathbb{R}
R
. On a :
f
′
(
x
)
=
−
4
e
x
+
8
f'\left(x\right)=-4e^{x}+8
f
′
(
x
)
=
−
4
e
x
+
8
Résolvons l'inéquation :
−
4
e
x
+
8
≥
0
-4e^{x}+8 \ge 0
−
4
e
x
+
8
≥
0
équivaut successivement à :
−
4
e
x
≥
−
8
-4e^{x} \ge -8
−
4
e
x
≥
−
8
e
x
≤
−
8
−
4
e^{x} \le \frac{-8}{-4}
e
x
≤
−
4
−
8
e
x
≤
2
e^{x} \le 2
e
x
≤
2
e
x
≤
e
ln
2
e^{x} \le e^{\ln2}
e
x
≤
e
l
n
2
x
≤
ln
2
x \le \ln2
x
≤
ln
2
Cela signifie que
−
4
e
x
+
8
≥
0
-4e^{x}+8 \ge 0
−
4
e
x
+
8
≥
0
lorsque
x
≤
ln
2
x \le \ln2
x
≤
ln
2
. Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ainsi :
Question 4
f
(
x
)
=
−
3
e
−
2
x
−
5
x
+
8
f\left(x\right)=-3e^{-2x}-5x+8
f
(
x
)
=
−
3
e
−
2
x
−
5
x
+
8
Correction
e
l
n
a
=
a
e^{lna} =a
e
l
na
=
a
avec
a
>
0
a>0
a
>
0
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e^{A} =e^{B} \Leftrightarrow A=B
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
(
e
u
)
′
=
u
′
e
u
\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
(
e
u
)
′
=
u
′
e
u
f
f
f
est dérivable sur
R
\mathbb{R}
R
. On a :
f
′
(
x
)
=
−
3
×
(
−
2
)
e
−
2
x
−
5
f'\left(x\right)=-3\times(-2)e^{-2x}-5
f
′
(
x
)
=
−
3
×
(
−
2
)
e
−
2
x
−
5
f
′
(
x
)
=
6
e
−
2
x
−
5
f'\left(x\right)=6e^{-2x}-5
f
′
(
x
)
=
6
e
−
2
x
−
5
Résolvons l'inéquation :
6
e
−
2
x
−
5
≥
0
6e^{-2x}-5 \ge 0
6
e
−
2
x
−
5
≥
0
équivaut successivement à :
6
e
−
2
x
≥
5
6e^{-2x} \ge 5
6
e
−
2
x
≥
5
e
−
2
x
≥
5
6
e^{-2x} \ge \frac{5}{6}
e
−
2
x
≥
6
5
e
−
2
x
≥
e
ln
5
6
e^{-2x} \ge e^{\ln\frac{5}{6}}
e
−
2
x
≥
e
l
n
6
5
−
2
x
≥
ln
5
6
-2x \ge \ln\frac{5}{6}
−
2
x
≥
ln
6
5
x
≤
−
1
2
ln
5
6
x \le -\frac{1}{2}\ln\frac{5}{6}
x
≤
−
2
1
ln
6
5
Cela signifie que
6
e
−
2
x
−
5
≥
0
6e^{-2x}-5 \ge 0
6
e
−
2
x
−
5
≥
0
lorsque
x
≤
−
1
2
ln
5
6
x \le -\frac{1}{2}\ln\frac{5}{6}
x
≤
−
2
1
ln
6
5
. Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ainsi :