Ici on reconnait la forme :
(uv)′=u′v+uv′ avec
u(x)=x2 et
v(x)=e−2x+1.
Ainsi :
u′(x)=2x et
v′(x)=−2e−2x+1.
Il vient alors que :
f′(x)=2xe−2x+1+x2×(−2e−2x+1) f′(x)=2xe−2x+1−2x2e−2x+1 f′(x)=e−2x+1(2x−2x2) Pour tout réel
x, on a :
e−2x+1>0.
Pour l'étude de
2x−2x2, on va utiliser le discriminant.
Nous donnons directement les résultats car le discriminant n'a maintenant plus de secret pour nous.
Δ=4 ,
x1=0 et
x2=1.
Comme
a=−2<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que
f est du signe de
a à l'extérieur des racines et du signe opposé à
a entre les racines.
On en déduit le tableau de variation suivant :