Etude de fonctions - Exercice 2

Ici on reconnait la forme : $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=x$$ et $$v\left(x\right)=e^{-x}$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=1$$ et $$v'\left(x\right)=-e^{-x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=e^{-x} +x\left(-e^{-x} \right)$$

Pour tout réel $$x$$, on a : $$e^{-x} >0$$.
De plus :
$$1-x\ge 0$$ équivaut successivement à :
$$-x\ge -1$$
$$x\le 1$$ .
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$1-x$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$1$$.
On en déduit le tableau de variation suivant :

Ici on reconnait la forme : $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=2x-4$$ et $$v\left(x\right)=e^{2x+3}$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=2$$ et $$v'\left(x\right)=2e^{2x+3}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=2e^{2x+3} +\left(2x-4\right)\times \left(2e^{2x+3} \right)$$
$$f'\left(x\right)=2e^{2x+3} +2x\times \left(2e^{2x+3} \right)-4\times \left(2e^{2x+3} \right)$$
$$f'\left(x\right)=2e^{2x+3} +4xe^{2x+3} -8e^{2x+3}$$
$$f'\left(x\right)=4xe^{2x+3} -6e^{2x+3}$$
Ainsi :
Pour tout réel $$x$$, on a : $$e^{2x+3} >0$$.
De plus,
$$4x-6\ge 0$$ équivaut successivement à :
$$4x\ge 6$$
$$x\ge \frac{6}{4}$$
$$x\ge \frac{3}{2}$$.
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$4x-6$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$\frac{3}{2}$$.
On en déduit le tableau de variation suivant :

Ici on reconnait la forme : $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=-x+3$$ et $$v\left(x\right)=e^{5x+4}$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-1$$ et $$v'\left(x\right)=5e^{5x+4}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\left(-1\right)e^{5x+4} +\left(-x+3\right)\times \left(5e^{5x+4} \right)$$
$$f'\left(x\right)=-e^{5x+4} +\left(-x\right)\times \left(5e^{5x+4} \right)+3\times \left(5e^{5x+4} \right)$$
$$f'\left(x\right)=-e^{5x+4} -5xe^{5x+4} +15e^{5x+4}$$
$$f'\left(x\right)=-5xe^{5x+4} +14e^{5x+4}$$
Ainsi :
Pour tout réel $$x$$, on a : $$e^{5x+4} >0$$.
De plus :
$$-5x+14\ge 0$$
$$-5x\ge -14$$
$$x\le \frac{-14}{-5}$$
$$x\le \frac{14}{5} .$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-5x+14$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$\frac{14}{5}$$.
On en déduit le tableau de variation suivant :

Ici on reconnait la forme : $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=2x+1$$ et $$v\left(x\right)=e^{-6x+2}$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-1$$ et $$v'\left(x\right)=-6e^{-6x+2}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=2e^{-6x+2} +\left(2x+1\right)\times \left(-6e^{-6x+2} \right)$$
$$f'\left(x\right)=2e^{-6x+2} +2x\times \left(-6e^{-6x+2} \right)+1\times \left(-6e^{-6x+2} \right)$$
$$f'\left(x\right)=2e^{-6x+2} -12xe^{-6x+2} -6e^{-6x+2}$$
$$f'\left(x\right)=-12xe^{-6x+2} -4e^{-6x+2}$$
Ainsi :
Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{-6x+2} >0$$.
De plus :
$$-12x-4\ge 0$$
$$-12x\ge 4$$
$$x\le -\frac{4}{12}$$
$$x\le -\frac{1}{3} .$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-12x-4$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$-\frac{1}{3}$$.
On en déduit le tableau de variation suivant :

Ici on reconnait la forme : $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=x^{2}$$ et $$v\left(x\right)=e^{-2x+1}$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=2x$$ et $$v'\left(x\right)=-2e^{-2x+1}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=2xe^{-2x+1} +x^{2} \times \left(-2e^{-2x+1} \right)$$
$$f'\left(x\right)=2x{\color{blue}{e^{-2x+1}}} -2x^{2}{\color{blue}{e^{-2x+1}}}$$

Pour tout réel $$x$$, on a : $$e^{-2x+1} >0$$.
Pour l'étude de $$2x-2x^{2}$$, on va utiliser le discriminant.
Nous donnons directement les résultats car le discriminant n'a maintenant plus de secret pour nous.
$$\Delta =4$$ , $$x_{1} =0$$ et $$x_{2} =1$$.
Comme $$a=-2<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
On en déduit le tableau de variation suivant :