La fonction exponentielle

Dérivées de fonctions composées (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u} - Exercice 2

8 min
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Dérivées que l'on voit souvent au bac :)
Question 1
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :

f(x)=(8x+3)e2x+1+9f\left(x\right)=\left(8x+3\right)e^{2x+1} +9

Correction
(eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
Ici on reconnaît la forme : (uv+w)′=u′v+uv′+w′\left(uv+w\right)'=u'v+uv'+w' avec u(x)=8x+3u\left(x\right)=8x+3 ; v(x)=e2x+1v\left(x\right)=e^{2x+1} et w(x)=9w\left(x\right)=9 .
Ainsi : u′(x)=8u'\left(x\right)=8 ; v′(x)=2e2x+1v'\left(x\right)=2e^{2x+1} et w′(x)=0w'\left(x\right)=0 .
Il vient alors que :
f′(x)=8×e2x+1+(8x+3)×(2e2x+1)+0f'\left(x\right)=8\times e^{2x+1} +\left(8x+3\right)\times \left(2e^{2x+1} \right)+0
f′(x)=8×e2x+1+8x×(2e2x+1)+3×(2e2x+1)f'\left(x\right)=8\times e^{2x+1} +8x\times \left(2e^{2x+1} \right)+3\times \left(2e^{2x+1} \right)
f′(x)=8e2x+1+16xe2x+1+6e2x+1f'\left(x\right)=8e^{2x+1} +16xe^{2x+1} +6e^{2x+1}
f′(x)=14e2x+1+16xe2x+1f'\left(x\right)=14e^{2x+1} +16xe^{2x+1}
f′(x)=e2x+1(14+16x)f'\left(x\right)=e^{2x+1} \left(14+16x\right)

Question 2

f(x)=(5x−6)e4x−2−7f\left(x\right)=\left(5x-6\right)e^{4x-2} -7

Correction
(eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
Ici on reconnaît la forme : (uv+w)′=u′v+uv′+w′\left(uv+w\right)'=u'v+uv'+w' avec u(x)=5x−6u\left(x\right)=5x-6 ; v(x)=e4x−2v\left(x\right)=e^{4x-2} et w(x)=−7w\left(x\right)=-7 .
Ainsi : u′(x)=5u'\left(x\right)=5 ; v′(x)=4e4x−2v'\left(x\right)=4e^{4x-2} et w′(x)=0w'\left(x\right)=0 .
Il vient alors que :
f′(x)=5e4x−2+(5x−6)×(4e4x−2)+0f'\left(x\right)=5e^{4x-2} +\left(5x-6\right)\times \left(4e^{4x-2} \right)+0
f′(x)=5e4x−2+5x×(4e4x−2)+(−6)×(4e4x−2)f'\left(x\right)=5e^{4x-2} +5x\times \left(4e^{4x-2} \right)+\left(-6\right)\times \left(4e^{4x-2} \right)
f′(x)=5e4x−2+20xe4x−2−24e4x−2f'\left(x\right)=5e^{4x-2} +20xe^{4x-2} -24e^{4x-2}
f′(x)=20xe4x−2−19e4x−2f'\left(x\right)=20xe^{4x-2} -19e^{4x-2}
f′(x)=e4x−2(20x−19)f'\left(x\right)=e^{4x-2} \left(20x-19\right)