Intervalle de fluctuation - Exercice 8

L’échantillon est de taille $$n =1303$$, la proportion supposée de client satisfait dans la population est $$p=0,85$$.
Il faut vérifier les conditions suivantes $$n\ge 30$$ , $$np\ge 5$$ et $$n\left(1-p\right)\ge 5$$

• $$1303\ge 30$$ donc $$n\ge 30$$
• $$1303\times 0,85=1107,55$$ donc $$np\ge 5$$
• $$1303\times \left(1-0,85\right)=195,45$$ donc $$n\left(1-p\right)\ge 5$$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $$95\%$$.
On a alors :
$$I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]$$
$$I=\left[0,85-1,96\times \frac{\sqrt{0,85\times \left(1-0,85\right)} }{\sqrt{1303} } ;0,85+1,96\times \frac{\sqrt{0,85\times \left(1-0,85\right)} }{\sqrt{1303} } \right]$$
$$I=\left[0,831;0,869\right]$$.
Ici $$0,831$$ est une valeur approchée par défaut de $$0,85-1,96\times \frac{\sqrt{0,85\times \left(1-0,85\right)} }{\sqrt{1303} }$$
Ici $$0,869$$ est une valeur approchée par excès de $$0,85+1,96\times \frac{\sqrt{0,85\times \left(1-0,85\right)} }{\sqrt{1303} }$$
De plus, la fréquence observée de personnes satisfaites sur l’échantillon est $$f_{obs}=\frac{1150}{1303}\approx0,883$$
Or $$f_{obs} \notin \left[0,831;0,869\right]$$. On peut donc remettre en cause l’affirmation de la société au risque de $$5\%$$ de se tromper.