Intervalle de fluctuation - Exercice 7

Pour pouvoir donner une réponse, on va s'aider d'un intervalle de fluctuation au seuil de $$95$$%.
D'après l'énoncé, on a : $$p=0,5$$ et $$n=100$$
Il faut vérifier les conditions suivantes $$n\ge 30$$ , $$np\ge 5$$ et $$n\left(1-p\right)\ge 5$$.

• $$100\ge 30$$ donc $$n\ge 30$$
• $$100\times 0,5=50$$ donc $$np\ge 5$$
• $$100\times \left(1-0,5\right)=50$$ donc $$n\left(1-p\right)\ge 5$$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $$95\%$$.
On a alors :
$$I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]$$
$$I=\left[0,5-1,96\times \frac{\sqrt{0,5\times \left(1-0,5\right)} }{\sqrt{100} } ;0,5+1,96\times \frac{\sqrt{0,5\times \left(1-0,5\right)} }{\sqrt{100} } \right]$$
$$I=\left[0,402;0,598\right]$$
Ici $$0,402$$ est une valeur exacte de $$0,5-1,96\times \frac{\sqrt{0,5\times \left(1-0,5\right)} }{\sqrt{100} }$$
Ici $$0,598$$ est une valeur exacte de $$0,5+1,96\times \frac{\sqrt{0,5\times \left(1-0,5\right)} }{\sqrt{100} }$$
La borne inférieure de l’intervalle de fluctuation est $$0,402$$, il est donc possible que moins de $$50\%$$ des clients trouvent que le temps d’attente aux caisses est raisonnable.