Intervalle de fluctuation - Exercice 5

Pour pouvoir donner une réponse, on va s'aider d'un intervalle de fluctuation au seuil de $$95$$%.
D'après l'énoncé, on a : $$p=0,791$$ et $$n=870$$
Il faut vérifier les conditions suivantes $$n\ge 30$$ , $$np\ge 5$$ et $$n\left(1-p\right)\ge 5$$.

• $$870\ge 30$$ donc $$n\ge 30$$
• $$870\times 0,791=688,17$$ donc $$np\ge 5$$
• $$870\times \left(1-0,791\right)=181,83$$ donc $$n\left(1-p\right)\ge 5$$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $$95\%$$.
On a alors :
$$I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]$$
$$I=\left[0,791-1,96\times \frac{\sqrt{0,791\times \left(1-0,791\right)} }{\sqrt{870} } ;0,791+1,96\times \frac{\sqrt{0,791\times \left(1-0,791\right)} }{\sqrt{870} } \right]$$
$$I=\left[0,763;0,819\right]$$
Ici $$0,763$$ est une valeur approchée par défaut de $$0,791-1,96\times \frac{\sqrt{0,791\times \left(1-0,791\right)} }{\sqrt{870} }$$
Ici $$0,819$$ est une valeur approchée par excès de $$0,791+1,96\times \frac{\sqrt{0,791\times \left(1-0,791\right)} }{\sqrt{870} }$$
On détermine la fréquence des personnes convoqués d'origine mexicaine dans l'échantillon, il vient alors que :
$$f_{obs} =\frac{339}{870} \approx 0,39$$
Or $$f_{obs} \notin \left[0,763;0,819\right]$$, donc la fréquence $$f_{obs}$$ des personnes convoquées d'origine mexicaine dans l'échantillon n'est dans pas dans l'intervalle.
Le condamné a raison de remettre en cause ce jugement avec un risque de $$5\%$$.