Intervalle de fluctuation - Exercice 4

D'après l'énoncé, on a : $$p=0,06$$ et $$n=400$$
Il faut vérifier les conditions suivantes $$n\ge 30$$ , $$np\ge 5$$ et $$n\left(1-p\right)\ge 5$$.

• $$400\ge 30$$ donc $$n\ge 30$$
• $$400\times 0,06=24$$ donc $$np\ge 5$$
• $$400\times \left(1-0,06\right)=376$$ donc $$n\left(1-p\right)\ge 5$$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $$95\%$$.
On a alors :
$$I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]$$
$$I=\left[0,06-1,96\times \frac{\sqrt{0,06\times \left(1-0,06\right)} }{\sqrt{400} } ;0,06+1,96\times \frac{\sqrt{0,06\times \left(1-0,06\right)} }{\sqrt{400} } \right]$$
$$I=\left[0,036;0,084\right]$$
Ici $$0,036$$ est une valeur approchée par défaut de $$0,06-1,96\times \frac{\sqrt{0,06\times \left(1-0,06\right)} }{\sqrt{400} }$$
Ici $$0,084$$ est une valeur approchée par excès de $$0,06+1,96\times \frac{\sqrt{0,06\times \left(1-0,06\right)} }{\sqrt{400} }$$
On détermine la fréquence des yaourts défectueux dans l'échantillon, il vient alors que :
$$f_{obs} =\frac{39}{400} =0,0975$$
Or $$f_{obs} \notin \left[0,036;0,084\right]$$, donc la fréquence $$f_{obs}$$ des yaourts défectueux dans l'échantillon n'est dans pas dans l'intervalle, l'échantillon n'est pas conforme.