Intervalle de fluctuation - Exercice 3

On commence par déterminer la fréquence observée de fille dans notre échantillon.
Ainsi :
$$f_{obs} =\frac{523}{1000} \approx 0,523$$
Il faut vérifier les conditions suivantes $$n\ge 30$$ , $$np\ge 5$$ et $$n\left(1-p\right)\ge 5$$.
Ici $$p=0,557$$ et $$n=1000$$

• $$1000\ge 30$$ donc $$n\ge 30$$
• $$1000\times 0,557=557$$ donc $$np\ge 5$$
• $$1000\times \left(1-0,557\right)=443$$ donc $$n\left(1-p\right)\ge 5$$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $$95\%$$.
On a alors :
$$I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]$$
$$I=\left[0,557-1,96\times \frac{\sqrt{0,557\times \left(1-0,557\right)} }{\sqrt{1000} } ;0,557+1,96\times \frac{\sqrt{0,557\times \left(1-0,557\right)} }{\sqrt{1000} } \right]$$
$$I=\left[0,526;0,588\right]$$
Ici $$0,526$$ est une valeur approchée par défaut de $$0,557-1,96\times \frac{\sqrt{0,557\times \left(1-0,557\right)} }{\sqrt{1000} }$$
Ici $$0,588$$ est une valeur approchée par excès de $$0,557+1,96\times \frac{\sqrt{0,557\times \left(1-0,557\right)} }{\sqrt{1000} }$$
Or $$f_{obs} \notin \left[0,526;0,588\right]$$, donc la fréquence $$f_{obs}$$ du nombre de filles dans ce lycée n'est pas dans l'intervalle, l'échantillon n'est pas conforme à la répartition garçons-filles dans la population française.

On commence par déterminer la fréquence observée des jeunes de moins de $$17$$ ans dans ce lycée.
$$f_{obs} =\frac{300}{1000} \approx 0,3$$
Il faut vérifier les conditions suivantes $$n\ge 30$$ , $$np\ge 5$$ et $$n\left(1-p\right)\ge 5$$.
Ici $$p=0,276$$ et $$n=1000$$

• $$1000\ge 30$$ donc $$n\ge 30$$
• $$1000\times 0,276=276$$ donc $$np\ge 5$$
• $$1000\times \left(1-0,276\right)=724$$ donc $$n\left(1-p\right)\ge 5$$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $$95\%$$.
On a alors :
$$I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]$$
$$I=\left[0,276-1,96\times \frac{\sqrt{0,276\times \left(1-0,276\right)} }{\sqrt{1000} } ;0,276+1,96\times \frac{\sqrt{0,276\times \left(1-0,276\right)} }{\sqrt{1000} } \right]$$
$$I=\left[0,248;0,304\right]$$
Ici $$0,248$$ est une valeur approchée par défaut de $$0,276-1,96\times \frac{\sqrt{0,276\times \left(1-0,276\right)} }{\sqrt{1000} }$$
Ici $$0,304$$ est une valeur approchée par excès de $$0,276+1,96\times \frac{\sqrt{0,276\times \left(1-0,276\right)} }{\sqrt{1000} }$$
Or $$f_{obs} \in \left[0,248;0,304\right]$$, donc la fréquence $$f_{obs}$$ des jeunes de moins de $$17$$ ans dans ce lycée est dans l'intervalle, l'échantillon est conforme à la répartition garçons-filles dans la population française.

On sait que l'on a une chance sur deux d'avoir face, ainsi $$p=\frac{1}{2}$$ et que $$n=300$$.
Dans l'exercice, nous avons $$f_{obs} =\frac{403}{1000}$$ donc $$f_{obs} =0,403$$.
De plus la taille de l'échantillon est $$n=1000$$

• Or $$n=1000\ge 30$$
• $$1000\times 0,403=403$$ donc $$n\times f_{obs} \ge 5$$
• $$1000\times \left(1-0,403\right)=597$$ donc $$n\times \left(1-f_{obs} \right)\ge 5$$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de confiance.
Il vient alors :
$$I=\left[0,403-\frac{1}{\sqrt{1000} } ;0,403+\frac{1}{\sqrt{1000} } \right]$$ donc $$I=\left[0,371;0,435\right]$$
Ici $$0,371$$ est une valeur approchée par défaut de $$0,403-\frac{1}{\sqrt{1000} }$$
Ici $$0,435$$ est une valeur approchée par excès de $$0,403+\frac{1}{\sqrt{1000} }$$

L'intervalle de confiance est $$I=\left[0,371;0,435\right]$$
Son amplitude vaut alors $$0,435-0,371=0,064$$
De manière générale, l'amplitude pour un intervalle de confiance est donnée par la formule $$\frac{2}{\sqrt{n} }$$.
Nous devons résoudre l'inéquation $$\frac{2}{\sqrt{n} } \le \frac{0,064}{2}$$.
Ainsi :
$$\frac{2}{\sqrt{n} } \le \frac{0,064}{2}$$ équivaut successivement à
$$\frac{2}{\sqrt{n} } \le 0,032$$
$$\frac{\sqrt{n} }{2} \ge \frac{1}{0,032}$$
$$\sqrt{n} \ge \frac{2}{0,032}$$
$$n\ge \left(\frac{2}{0,032} \right)^{2}$$
$$n\ge 3906,25$$
Finalement $$n\ge 3907$$
Nous devons passer de 1000 à 3907 personnes interrogés afin pour que l'amplitude de l'intervalle de confiance soit divisée par 2.