Intervalle de fluctuation - Exercice 2

Il faut vérifier les conditions suivantes $$n\ge 30$$ , $$np\ge 5$$ et $$n\left(1-p\right)\ge 5$$. Ici $$p=0,15$$ et $$n=260$$

• $$260\ge 30$$ donc $$n\ge 30$$
• $$260\times 0,15=39$$ donc $$np\ge 5$$
• $$260\times \left(1-0,15\right)=221186$$ donc $$n\left(1-p\right)\ge 5$$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $$95\%$$.
On a alors :
$$I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]$$
$$I=\left[0,15-1,96\times \frac{\sqrt{0,15\times \left(1-0,15\right)} }{\sqrt{260} } ;0,15+1,96\times \frac{\sqrt{0,15\times \left(1-0,15\right)} }{\sqrt{260} } \right]$$
$$I=\left[0,106;0,194\right]$$
Ici $$0,106$$ est une valeur approchée par défaut de $$0,15-1,96\times \frac{\sqrt{0,15\times \left(1-0,15\right)} }{\sqrt{260} }$$
Ici $$0,194$$ est une valeur approchée par excès de $$0,15+1,96\times \frac{\sqrt{0,15\times \left(1-0,15\right)} }{\sqrt{260} }$$

Or $$f_{obs} \in \left[0,106;0,194\right]$$, donc la fréquence $$f_{obs}$$ du nombre de gauchers observé est dans l'intervalle donc ce club est « représentatif » de la proportion de gauchers dans le monde.