Intervalle de fluctuation - Exercice 1

Il faut vérifier les conditions suivantes $$n\ge 30$$ , $$np\ge 5$$ et $$n\left(1-p\right)\ge 5$$. Ici $$p=0,07$$ et $$n=92$$

• $$92\ge 30$$ donc $$n\ge 30$$
• $$92\times 0,07=6,44$$ donc $$np\ge 5$$
• $$92\times \left(1-0,07\right)=85,56$$ donc $$n\left(1-p\right)\ge 5$$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $$95\%$$.
On a alors :
$$I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]$$
$$I=\left[0,07-1,96\times \frac{\sqrt{0,07\times \left(1-0,07\right)} }{\sqrt{92} } ;0,07+1,96\times \frac{\sqrt{0,07\times \left(1-0,07\right)} }{\sqrt{92} } \right]$$
$$I=\left[0,017;0,123\right]$$
Ici $$0,017$$ est une valeur approchée par défaut de $$0,07-1,96\times \frac{\sqrt{0,07\times \left(1-0,07\right)} }{\sqrt{92} }$$
Ici $$0,123$$ est une valeur approchée par excès de $$0,07+1,96\times \frac{\sqrt{0,07\times \left(1-0,07\right)} }{\sqrt{92} }$$
Or $$f_{obs} \in \left[0,017;0,123\right]$$, donc la machine à sous fonctionne correctement.

Tout d'abord $$f_{obs} =\frac{25}{200} =0,125$$
Il faut vérifier les conditions suivantes $$n\ge 30$$ , $$np\ge 5$$ et $$n\left(1-p\right)\ge 5$$. Ici $$p=0,07$$ et $$n=200$$

• $$200\ge 30$$ donc $$n\ge 30$$
• $$200\times 0,07=14$$ donc $$np\ge 5$$
• $$200\times \left(1-0,07\right)=186$$ donc $$n\left(1-p\right)\ge 5$$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $$95\%$$.
On a alors :
$$I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]$$
$$I=\left[0,07-1,96\times \frac{\sqrt{0,07\times \left(1-0,07\right)} }{\sqrt{200} } ;0,07+1,96\times \frac{\sqrt{0,07\times \left(1-0,07\right)} }{\sqrt{200} } \right]$$
$$I=\left[0,034;0,106\right]$$
Ici $$0,034$$ est une valeur approchée par défaut de $$0,07-1,96\times \frac{\sqrt{0,07\times \left(1-0,07\right)} }{\sqrt{200} }$$
Ici $$0,106$$ est une valeur approchée par excès de $$0,07+1,96\times \frac{\sqrt{0,07\times \left(1-0,07\right)} }{\sqrt{200} }$$
Or $$f_{obs} \notin \left[0,034;0,106\right]$$, donc La fréquence $$f_{obs}$$ du nombre de succès observée n'est pas dans l'intervalle car elle est trop grande, donc le technicien va modifier le réglage de la machine.