Echantillonnage et estimation

Intervalle de confiance - Exercice 4

6 min
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Question 1

Une étude scientifique sur une population amazonienne a établie qu'entre 20152015 et 20182018 il y avait 6767 garçons sur 187187 naissances. Est-ce le fruit du hasard. On utilisera un intervalle de confiance à 95%95\% .

Correction
Soit une expérience aléatoire où la probabilité d'un XX événement est pp.
On reproduit cette expérience nn fois et l'on détermine la fréquence observée fobsf_{obs} d'apparition de l'événement XX.
Si p∈[0,2;0,8]p\in \left[0,2;0,8\right] et si n≥30n\ge 30 , alors, dans environ 95%95\% des cas, pp est compris dans l'intervalle II appelé intervalle de confiance au seuil de 95%95\% ou au risque de 5%5\%
Si n≥30n\ge 30 , n×fobs≥5n\times f_{obs} \ge 5 et n×(1−fobs)≥5n\times \left(1-f_{obs} \right)\ge 5 alors I=[fobs−1n;fobs+1n]I=\left[f_{obs} -\frac{1}{\sqrt{n} } ;f_{obs} +\frac{1}{\sqrt{n} } \right]
On sait qu'un couple a une chance sur deux d'avoir un garçon , ainsi p=12p=\frac{1}{2} et que n=187n=187.
Dans l'exercice, nous avons fobs=67187f_{obs} =\frac{67}{187} donc fobs≈0,358f_{obs}\approx 0,358.
  • Or n=187≥30n=187\ge 30
  • 187×67187=67187\times \frac{67}{187} =67 donc n×fobs≥5n\times f_{obs} \ge 5
  • 187×(1−67187)=120187\times \left(1-\frac{67}{187} \right)=120 donc n×(1−fobs)≥5n\times \left(1-f_{obs} \right)\ge 5

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de confiance.
Il vient alors :
I=[67187−1187;67187+1187]I=\left[\frac{67}{187} -\frac{1}{\sqrt{187} } ;\frac{67}{187} +\frac{1}{\sqrt{187} } \right] donc I=[0,285;0,432]I=\left[0,285;0,432\right]
Ici 0,2850,285 est une valeur approchée par défaut de 67187−1187\frac{67}{187} -\frac{1}{\sqrt{187} }
Ici 0,4320,432 est une valeur approchée par excès de 67187+1187\frac{67}{187} +\frac{1}{\sqrt{187} }
Or p∉[0,285;0,432]p\notin \left[0,285;0,432\right] c'est à dire 0,5∉[0,285;0,432]0,5\notin \left[0,285;0,432\right]
Il y a lieu de se poser des questions et de chercher quelle peut-en être la raison !