Dans une urne contenant des boules blanches et des boules vertes en proportions inconnues, on effectue des tirages au hasard avec remise.
Après avoir effectué 100 tirages, on compte 52 boules blanches et 48 boules vertes. Donner un intervalle de confiance à 95% de la proportion p de boules blanches dans l'urne.
Correction
Dans l'exercice, nous avons fobs=10052 donc fobs=0,52.
Or n=100≥30
100×0,52=52 donc n×fobs≥5
100×(1−0,52)=48 donc n×(1−fobs)≥5
Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de confiance. Il vient alors I=[0,52−1001;0,52+1001] donc I=[0,42;0,62] Ici 0,42 est une valeur approchée par défaut de 0,52−1001 Ici 0,62 est une valeur approchée par excès de 0,52+1001 La proportion p de boules blanches dans l'urne est dans l'intervalle [0,42;0,62] avec un niveau de confiance de 95%.
Question 2
Combien faudrait-il, au minimum, effectuer de tirage pour obtenir un intervalle de confiance à 95% de longueur inférieur ou égale à 0,02 ?
Correction
Au niveau de confiance de 95%, l'amplitude pour un intervalle de confiance est donnée par la formule n2.
Nous devons résoudre l'inéquation n2≤0,02. Ainsi n2≤0,02 équivaut successivement à 2n≥0,021 n≥0,022 n≥(0,022)2 Finalement n≥10000 Il faudrait, au minimum, effectuer 10000 tirages pour obtenir un intervalle de confiance à 95\% de longueur inférieur ou égale à 0,02 ?