Echantillonnage et estimation

Intervalle de confiance - Exercice 2

6 min
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Nous sommes en mars 20122012. Est publié un sondage pour le second tour des présidentielles prévues en mai 20122012. La taille de l'échantillon est de 13001300. On recense
  • 20%20\% d'abstention
  • 52%52\% des personnes voteraient Mr Neuilly
  • 48%48\% des personnes voteraient Mr Tulles

Une chaine de télévision annonce que si les élections avaient lieu en mars 20122012 alors Mr Neuilly serait élu président de la république.
Question 1

Qu'en pensez-vous ?

Correction

Lorsque l'on veut estimer une proportion pp au sein d'une population générale, on prélève un échantillon aléatoire de taille nn pour lequel on obtient une fréquence fobsf_{obs} et on estime que pp est compris dans l'intervalle de confiance I=[fobs−1n;fobs+1n]I=\left[f_{obs} -\frac{1}{\sqrt{n} } ;f_{obs} +\frac{1}{\sqrt{n} } \right], avec un niveau de confiance de 0,950,95.
On a 20%20\% d'abstention. Ainsi 260260 personnes se sont abstenues et 10401040 se sont exprimées.
On peut considérer que l'on a un échantillon de 10401040 personnes s'exprimant sur le deuxième tour. 52%52\% d'entre elles se prononçant pour Monsieur Neuilly et 48%48\% pour Monsieur Tulles.
D'une part, déterminons l'intervalle de confiance associé à la fréquence pour Monsieur Neuilly est
I=[0,52−11040;0,52+11040]I=\left[0,52-\frac{1}{\sqrt{1040} } ;0,52+\frac{1}{\sqrt{1040} } \right] donc I=[0,488;0,552]I=\left[0,488;0,552\right]
Ici 0,4880,488 est une valeur approchée par défaut de 0,52−110400,52-\frac{1}{\sqrt{1040} }
Ici 0,5520,552 est une valeur approchée par excès de 0,52+110400,52+\frac{1}{\sqrt{1040} }
D'une part, déterminons l'intervalle de confiance associé à la fréquence pour Monsieur Tulles est
I=[0,48−11040;0,48+11040]I=\left[0,48-\frac{1}{\sqrt{1040} } ;0,48+\frac{1}{\sqrt{1040} } \right] donc I=[0,448;0,512]I=\left[0,448;0,512\right]
Ici 0,4480,448 est une valeur approchée par défaut de 0,48−110400,48-\frac{1}{\sqrt{1040} }
Ici 0,5120,512 est une valeur approchée par excès de 0,48+110400,48+\frac{1}{\sqrt{1040} }
A priori ces résultats ne semblent pas garantir que la majorité de la population ait l'intention de voter pour Mr Neuilly (au moment où le sondage a été réalisé). En effet, on observe que Mr Tulles pourrait obtenir plus de 50%50\% des voix car son intervalle de confiance est I=[0,448;0,512]I=\left[0,448;0,512\right]