Exercices types : 1^èrepartie - Exercice 5

Il faut vérifier les conditions suivantes $$n\ge 30$$ , $$np\ge 5$$ et $$n\left(1-p\right)\ge 5$$ avec $$p=0,48$$ et $$n=2700$$ .

• $$2700\ge 30$$ donc $$n\ge 30$$
• $$2700\times 0,48=1296$$ donc $$np\ge 5$$
• $$2700\times \left(1-0,48\right)=1404$$ donc $$n\left(1-p\right)\ge 5$$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $$95\%$$.
On a alors :
$$I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]$$
$$I=\left[0,48-1,96\times \frac{\sqrt{0,48\times \left(1-0,48\right)} }{\sqrt{2700} } ;0,48+1,96\times \frac{\sqrt{0,48\times \left(1-0,48\right)} }{\sqrt{2700} } \right]$$
$$I=\left[0,461;0,499\right] .$$
Ici $$0,461$$ est une valeur approchée par défaut de $$0,48-1,96\times \frac{\sqrt{0,48\times \left(1-0,48\right)} }{\sqrt{2700} }$$
Ici $$0,499$$ est une valeur approchée par excès de $$0,48+1,96\times \frac{\sqrt{0,48\times \left(1-0,48\right)} }{\sqrt{2700} }$$
Sur les $$2700$$ personnes, $$1290$$ ne sont pas satisfaits par la politique du président actuel.
On détermine la fréquence des personnes insatisfaites dans l'échantillon, il vient alors que :
$$f_{obs} =\frac{1290}{2700} \approx0,478$$
Or $$f_{obs} \in \left[0,461;0,499\right]$$, donc la fréquence $$f_{obs}$$ est dans l'intervalle. Donc, au risque de $$5\%$$, ce sondage est bien représentatif des Français.