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Echantillonnage et estimation

Exercices types : 1^èrepartie - Exercice 3

30 min

Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires en argent. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le diamètre et l’épaisseur (exprimés en millimètres) sont conformes afin de les ranger dans un étui spécifique. Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à

10^{-3}

près.

Question 1

PARTIE A :
On suppose dans cette partie que la probabilité pour qu’une pièce prélevée au hasard soit conforme est égale à

0,9

. Soit

X

la variable aléatoire, qui à tout échantillon de

10

pièces associe le nombre de pièces conformes.

Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

Correction

A chaque tirage la probabilité de tirer une pièce conforme est de

0,9

On est donc en présence d'un schéma de Bernoulli :
On appelle succès "tirer une pièce conforme" avec la probabilité

p=0,9

On appelle échec "tirer une pièce non conforme" avec la probabilité

1-p=0,1

On répète dix fois de suite cette expérience de façon indépendante.

X

est la variable aléatoire qui associe le nombre de fois que l'on tire une pièce conforme.

X

suit la loi binomiale de paramètre

n=10

p=0,9

On note alors

X \sim B\left(10;0,9 \right)

Question 2

Calculer l’espérance mathématique $E\left(X\right)$ et l’écart type $\sigma\left(X\right)$ de la variable aléatoire $X$ .

Correction

X

est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale

B\left(n, p\right)

, alors l’espérance mathématique

E\left(X\right)

, la variance

V\left(X\right)

et l’écart type

\sigma\left(X\right)

sont égales à :

$E\left(X\right)=n\times p$
$V\left(X\right)=n\times p\times \left(1-p\right)$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)} =\sqrt{n\times p\times \left(1-p\right)}$

Ainsi :

E\left(X\right)=10\times 0,9

donc

E\left(X\right)=9

V\left(X\right)=10\times 0,9\times \left(1-0,9\right)

d'où :

V\left(X\right)=0,9

\sigma \left(X\right)=\sqrt{0,9}

d'où :

\sigma \left(X\right)\approx0,94

Question 3

Calculer la probabilité que dans un échantillon de $10$ pièces, au moins $8$ pièces soient conformes.

Correction

Il nous faut calculer

P\left(X\ge 8\right)

.
Or

P\left(X\ge 8\right)=1-P\left(X\le 7\right)

Nous allons détailler la manière de calculer la valeur

P\left(X\le 7\right)

Avec une Texas, on tape pour

P\left(X\le 7\right)

(tu peux regarder la fiche "Utiliser la loi binomiale avec une Texas" pour plus de détails)2^nd - DISTR -- puis choisir BinomFrep(valeur de n, valeur de p, valeur de k) c'est-à-dire ici BinomFdp( $10$ , $0.9$ , $7$ ) puis taper sur enter et on obtient :

P\left(X\le 7\right)\approx 0,070

arrondi à

10^{-3}

près.
Enfin :

P\left(X\ge 8\right)=1-P\left(X\le 7\right)\approx1-0,070\approx0,93

Pour certaine version de Texas, on aura BinomPdf au lieu de BinomFdpAvec une Casio Graph 35+ ou modèle supérieur, on tape pour

P\left(X\le 7\right)

(tu peux regarder la fiche "Utiliser la loi binomiale avec une Casio" pour plus de détails)
Choisir Menu Stat puis DIST puis BINM et prendre BPD puis VAR.

On remplit le tableau de la manière qui suit :

D.P. Binomiale
Data Variable

x

7

valeur de

k

Numtrial :

10

valeur de

n

p

0,9

valeur de

p

puis taper sur EXE et on obtient :

P\left(X\le 7\right)\approx 0,070

arrondi à

10^{-3}

près.
Enfin :

P\left(X\ge 8\right)=1-P\left(X\le 7\right)\approx1-0,070\approx0,93

Question 4

PARTIE B :
Les pièces sont fabriquées par une machine automatique. Soit

M

la variable aléatoire qui à chaque pièce prélevée au hasard associe son diamètre. On suppose que

M

suit la loi normale d’espérance

80

et d’écart type

0,6

Déterminer la probabilité $P\left(79\le M\le 81\right)$ .

Correction

Nous savons que

\mu=80

\sigma=0,6

.
Pour le calcul de

P\left(79\le M\le 81\right)

, on procède comme suit :
Avec une calculatrice Texas, pour

P\left(79\le M\le 81\right)

on tape NormalFrep(valeur min, valeur max, espérance, écart type)
C'est-à-dire ici NormalFrep( $79$ , $81$ , $80$ , $6$ ) puis on tape sur Enter et on obtient :

P\left(79\le M\le 81\right)\approx 0,904

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour

P\left(2\le X\le 3\right)

on tape :

Normal C.D
Lower :

79

valeur Minimale
Upper :

81

valeur Maximale

\sigma

6

écart type

\mu

80

espérance

Puis on tape sur EXE et on obtient :

P\left(79\le M\le 81\right)\approx 0,904

Question 5

Quelle est la probabilité que le diamètre d’une pièce prélevée au hasard soit supérieur à $80$ ?

Correction

Comme l’espérance est égale à

80

, la probabilité que le diamètre d’une pièce prélevée au hasard soit supérieur à

80

est égale à

0,5

Question 6

PARTIE C :
On s’intéresse dans cette partie à l’épaisseur des médailles. On fait l’hypothèse que le réglage de la machine est tel que

5\%

des médailles fabriquées ont une épaisseur non conforme.

Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique à $95\%$ de la fréquence des médailles non conformes obtenues dans un échantillon de $300$ médailles.

Correction

Ici nous avons

n=300

p=0,05

Il faut vérifier les conditions suivantes

n\ge 30

np\ge 5

n\left(1-p\right)\ge 5

$300\ge 30$ donc $n\ge 30$
$300\times 0,05=15$ donc $np\ge 5$
$300\times \left(1-0,05\right)=285$ donc $n\left(1-p\right)\ge 5$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de

95\%

.
On a alors :

I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]

I=\left[0,05-1,96\times \frac{\sqrt{0,05\times \left(1-0,05\right)} }{\sqrt{300} } ;0,05+1,96\times \frac{\sqrt{0,05\times \left(1-0,05\right)} }{\sqrt{300} } \right]

I=\left[0,025;0,075\right] .

Ici

0,025

est une valeur approchée par défaut de

0,05-1,96\times \frac{\sqrt{0,05\times \left(1-0,05\right)} }{\sqrt{300} }

Ici

0,075

est une valeur approchée par excès de

0,05+1,96\times \frac{\sqrt{0,05\times \left(1-0,05\right)} }{\sqrt{300} }

Question 7

On prélève un échantillon de $300$ médailles. On constate que dans cet échantillon, $24$ médailles ont une épaisseur non conforme. Doit-on réviser le réglage de la machine?

Correction

On détermine la fréquence d’apparition des médailles non conformes dans l'échantillon, il vient alors que :

f_{obs} =\frac{24}{300} =0,08

f_{obs} \notin \left[0,025;0,075\right]

, donc au seuil de confiance de

95\%

on décide de revoir le réglage de la machine.

Exercices types : 1èrepartie - Exercice 3

Justifier que la variable aléatoire XXX suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

Calculer l’espérance mathématique E(X)E\left(X\right)E(X) et l’écart type σ(X)\sigma\left(X\right)σ(X) de la variable aléatoire XXX.

Calculer la probabilité que dans un échantillon de 101010 pièces, au moins 888 pièces soient conformes.

Déterminer la probabilité P(79≤M≤81)P\left(79\le M\le 81\right)P(79≤M≤81).

Quelle est la probabilité que le diamètre d’une pièce prélevée au hasard soit supérieur à 808080?

Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95%95\%95% de la fréquence des médailles non conformes obtenues dans un échantillon de 300300300 médailles.

On prélève un échantillon de 300300300 médailles. On constate que dans cet échantillon, 242424 médailles ont une épaisseur non conforme. Doit-on réviser le réglage de la machine?

Exercices types : 1^èrepartie - Exercice 3

Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

Calculer l’espérance mathématique $E\left(X\right)$ et l’écart type $\sigma\left(X\right)$ de la variable aléatoire $X$ .

Calculer la probabilité que dans un échantillon de $10$ pièces, au moins $8$ pièces soient conformes.

Déterminer la probabilité $P\left(79\le M\le 81\right)$ .

Quelle est la probabilité que le diamètre d’une pièce prélevée au hasard soit supérieur à $80$ ?

Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique à $95\%$ de la fréquence des médailles non conformes obtenues dans un échantillon de $300$ médailles.

On prélève un échantillon de $300$ médailles. On constate que dans cet échantillon, $24$ médailles ont une épaisseur non conforme. Doit-on réviser le réglage de la machine?